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活跃在高考题中的二次函数问题二次函数是出现在初中数学中的一个具体的基本初等函数，初中阶段对它的的教学要求比较低，加上初中学生的接受水平所限制和各地区初中毕业升学考试的要求不一，高中阶段的教材中又没有这部分内容。因此这块内容在教学中，就并没有真正达到高中阶段应用要求的高度，各地区一般采用的方法都是在初中与高中衔接的过程中补充一些二次函数的内容。事实上高中数学问题中，二次函数问题的应用却是十分广泛，本文通过一些具体的高考问题来阐述二次函数在高考数学中的应用，期望能给高中学生一些帮助。一、 直接以二次函数为模型来处理的问题 例1、设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD解：，因为是关于的减函数，所以当时，令，在区间（0，1）上是增函数，所以，即 所以选B这是2008年全国高考理科数学9题，是一道解析几何与函数的简单综合问题，它是通过求二次函数的值域，来求出离心率取值范围的。例2、求函数的最大值解： ,令 ，则 ，当时所以函数的最大值为这是2004年全国高考理科数学15题，它的处理过程是通过换元，直接把问题转化成了一个二次函数的最大值问题。二、三次函数求导后形成的二次函数问题例3、已知函数，若在处取得最小值，求a的取值范围。解： ，由得（）（1）当时，方程（）没有解，函数没有极小值；(2)当或时，由得 ， ，由题设可以知道，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(1)(2)得的取值范围是。这是2011全国高考文科数学试卷第21题的第二问，它是通过二次方程的判别式进行分类讨论来处理问题的。三、其它函数中形成的二次函数问题例4、设函数有两个极值点，且求的取值范围，并讨论的单调性解: 求原函数的导数得令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得当时，在内为增函数；21世纪教育网 当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；这是2009年全国高考理科数学22题的一问，它是通过构造函数，直接把问题转化成了一个二次函数问题来处理的。例5、已知函数（I）若时，求的最小值；解：由已知得，若 ，则当时，所以若 ，则当时，在所以当时综上，的最小值是这是2013年高考理科大纲卷第22题的第一问，它是借助函数对应方程根的讨论来处理的。转化后能够利用二次函数来处理的高考试题还有很多。作为生活中应用最广泛的一种函数，依据新课程标准倡导的基本理念，二次函数的有关内容必然会成了高考中长考不衰，灵活多变的的考查内容，因此在学习的过
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