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1 3 1二项式定理 一 a b 2 思考 a b 4的展开式是什么 a b 3 复习 次数 各项的次数等于二项式的次数 项数 次数 1 a b 2 a b 3 复习 a b 2 a b a b 展开后其项的形式为 a2 ab b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数 考虑b 恰有1个取b的情况有c21种 则ab前的系数为c21 恰有2个取b的情况有c22种 则b2前的系数为c22 每个都不取b的情况有1种 即c20 则a2前的系数为c20 对 a b 2展开式的分析 a b 4 a b a b a b a b 问题 1 a b 4展开后各项形式分别是什么 2 各项前的系数代表着什么 3 你能分析说明各项前的系数吗 a4a3ba2b2ab3b4 各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数 每个都不取b的情况有1种 即c40 则a4前的系数为c40 恰有1个取b的情况有c41种 则a3b前的系数为c41 恰有2个取b的情况有c42种 则a2b2前的系数为c42 恰有3个取b的情况有c43种 则ab3前的系数为c43 恰有4个取b的情况有c44种 则b4前的系数为c44 则 a b 4 c40a4 c41a3b c42a2b2 c43ab3 c44b4 3 你能分析说明各项前的系数吗 a4a3ba2b2ab3b4 a b n a b n的展开式是 二项定理 a b n是n个 a b 相乘 每个 a b 在相乘时有两种选择 选a或b 而且每个 a b 中的a或b选定后才能得到展开式的一项 对于每一项akbn k 它是由k个 a b 选了a n k个 a b 选了b得到的 它出现的次数相当于从n个 a b 中取k个a的组合数 将它们合并同类项 就得二项展开式 这就是二项式定理 其中每一项都是akbn k的形式 k 0 1 n 定理的证明 二项式定理 n n 注 1 上式右边为二项展开式 各项次数都等于二项式的次数 2 展开式的项数为n 1项 3 字母a按降幂排列 次数由n递减到0字母b按升幂排列 次数由0递增到n 4 二项式系数可写成组合数的形式 组合数的下标为二项式的次数组合数的上标由0递增到n 5 展开式中的第r 1项 即通项tr 1 二项式定理 n n 6 二项式系数为 项的系数为二项式系数与数字系数的积 在二项式定理中 令a 1 b x 则有 在上式中 令x 1 则有 例1 展开 2 展开 3 求 x a 12的展开式中的倒数第4项 4 1 求 1 2x 7的展开式中第4项的系数 2 求 x 9的展开式中x3的系数 例2 1 求的展开式常数项 2 求的展开式的中间两项 练习1 求 2a 3b 6的展开式的第3项 2 求 3b 2a
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