09年高考数学函数的和差积商的导数课件新人教版.ppt

3 3函数的和 差 积 商的导数 一 复习 1 求函数的导数的方法是 2 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 3 常见函数的导数公式 公式1 公式2 公式3 公式4 二 新课 由上节课的内容可知函数y x2的导数为y 2x 那么 对于一般的二次函数y ax2 bx c 它的导数又是什么呢 这就需要用到函数的四则运算的求导法则 1 和 差 的导数 法则1 两个函数的和 差 的导数 等于这两个函数的导数的和 差 即 证 即 2 积的导数 法则2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 加上第一个函数乘第二个函数的导数 即 证 因为v x 在点x处可导 所以它在点x处连续 于是当 x 0时 v x x v x 从而 即 3 商的导数 推论 常数与函数的积的导数 等于常数乘函数的导数 即 法则3 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 即 思考 你能否仿照积的导数的推导过程 证明商的导数公式吗 有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则 就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和 差 积 商构成的函数 而不必从导数定义出发了 三 例题选讲 例1 求下列函数的导数 答案 例2 1 命题甲 f x g x 在x x0处均可导 命题乙 f x f x g x 在x x0处可导 则甲是乙成立的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充分必要条件 d 即不充分也不必要条件 a 2 下列函数在点x 0处不可导的是 a y x3 sinx b y x2 cosx c y xsinx d y cosx d 3 若则f x 可能是下式中的 b 4 点p在曲线y x3 x 2 3上移动时 过点p的曲线的切线的倾斜角的取值范围是 d 例3 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足 1 此物体什么时刻在始点 2 什么时刻它的速度为零 解 1 令s 0 即1 4t4 4t3 16t2 0 所以t2 t 8 2 0 解得 t1 0 t2 8 故在t 0或t 8秒末的时刻运动物体在始点 即t3 12t2 32t 0 解得 t1 0 t2 4 t3 8 故在t 0 t 4和t 8秒时物体运动的速度为零 例4 已知曲线s1 y x2与s2 y x 2 2 若直线l与s1 s2均相切 求l的方程 解 设l与s1相切于p x1 x12 l与s2相切于q x2 x2 2 2 对于则与s1相切于p点的切线方程为y x12 2x1 x x1 即y 2x1x x12 对于与s2相切于q点的切线方程为y x2 2 2 2 x2 2 x x2 即y 2 x2 2 x x22 4 因为两切线重合 若x1 0 x2 2 则l为y 0 若x1 2 x2 0 则l为y 4x 4 所以所求l的方程为 y 0或y 4x 4 例5 在曲线y x3 6x2 x 6上 求斜率最小的切线所对应的切点 并证明曲线关于此点对称 解 由于 故当x 2时 有最小值 而当x 2时 y 12 故斜率最小的切线所对应的切点为a 2 12 记曲线为s 设p x y s 则有y x3 6x2 x 6 又点p关于点a的对称点为q 4 x 24 y 下证q s 将4 x代入解析式 4 x 3 6 4 x 2 4 x 6 64 48x 12x2 x3 96 48x 6x2 4 x 6 x3 6x2 x 30 x3 6x2 x 6 24 24 y 即q 4 x 24 y 的坐标是s的方程的解 于是q s 这就证明了曲线s关于点a中心对称 例6 用求导的方法求和 对 1 由求导公式可联想到它是另一个和式x x2 x3 xn的导数 四 小结 1 充分掌握函数的四则运算的求导法则 2 先化简 再求导是实施求导运算的基本方法 是化难为易 化繁为简的基本原则和策