人教版九年级数学上册同步测试24.1圆的有关性质解析版.doc

2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.1 圆的有关性质一、选择题（共9小题）1如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）21*cnjy*comA3cmB4cmC5cmD6cm2（绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A4mB5mC6mD8m3将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（）A（4）cm2B（8）cm2C（4）cm2D（2）cm24如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OECD，垂足为F，OF=米，则这段弯路的长度为（）A200米B100米C400米D300米5在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A40cmB60cmC80cmD100cm6在半径为13的O中，弦ABCD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（）A10B4C10或4D10或27如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（）AA=DBCE=DECACB=90DCE=BD8如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CDAB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（）A4B8C2D49如图，O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，APO=30，则弦AB的长为（）A2BC2D二、填空题（共15小题）10如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为m11赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=米12如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OCAB交外圆于点C测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是13一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m14如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为米15如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 m16把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则O的半径为17如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3，则AB=18如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CDAB交外圆于点C测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为cm19如图是一圆形水管的截面图，已知O的半径OA=13，水面宽AB=24，则水的深度CD是20平面内有四个点A、O、B、C，其中AOB=120，ACB=60，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是21如图，AB是O的弦，OCAB于点C，连接OA、OB点P是半径OB上任意一点，连接AP若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是cm（写出一个符合条件的数值即可）22如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm23如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），P的半径为，则点P的坐标为24如图，已知O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且MEB=NFB=60，则EM+FN=三、解答题（共6小题）25如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径26如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r27在O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，BAC=25，请直接写出DCA的度数28如图，已知ABC是O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC（1）如图，若BPC=60求证：AC=AP；（2）如图，若sinBPC=，求tanPAB的值29）如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为点E，AO=1（1）求C的大小；（2）求阴影部分的面积30如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，OFAC于点F，（1）请探索OF和BC的关系并说明理由；（2）若D=30，BC=1时，求圆中阴影部分的面积（结果保留）2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.1 圆的有关性质参考答案与试题解析一、选择题（共9小题）1如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）2-1-c-n-j-yA3cmB4cmC5cmD6cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】过点O作ODAB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD中，利用勾股定理即可求r的值【出处：21教育名师】【解答】解：如图所示：过点O作ODAB于点D，连接OA，ODAB，AD=AB=8=4cm，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r2）2+42，解得r=5cm故选C【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键21*cnjy*com2绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A4mB5mC6mD8m【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案【解答】解：连接OA，桥拱半径OC为5m，OA=5m，CD=8m，OD=85=3m，AD=4m，AB=2AD=24=8（m）；故选；D【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理3将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（）A（4）cm2B（8）cm2C（4）cm2D（2）cm2【考点】垂径定理的应用；扇形面积的计算【分析】作ODAB于C，交小O于D，则CD=2，由垂径定理可知AC=CB，利用正弦函数求得OAC=30，进而求得AOC=120，利用勾股定理即可求出AB的值，从而利用S扇形SAOB求得杯底有水部分的面积【解答】解：作ODAB于C，交小O于D，则CD=2，AC=BC，OA=OD=4，CD=2，OC=2，在RTAOC中，sinOAC=，OAC=30，AOB=120，AC=2，AB=4，杯底有水部分的面积=S扇形SAOB=2=（4）cm2故选A【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键21教育名师原创作品4如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OECD，垂足为F，OF=米，则这段弯路的长度为（）A200米B100米C400米D300米【考点】垂径定理的应用；勾股定理；弧长的计算【分析】设这段弯路的半径为R米，OF=米，由垂径定理得CF=CD=600=300由勾股定理可得OC2=CF2+OF2，解得R的值，进而得出这段弧所对圆心角，求出弧长即可【解答】解：设这段弯路的半径为R米OF=米，OECDCF=CD=600=300根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2即R2=3002+（300）2解之，得R=600，sinCOF=，COF=30，这段弯路的长度为： =200（m）故选：A【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据已知得出圆的半径以及圆心角是解题关键5在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A40cmB60cmC80cmD100cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】连接OA，过点O作OEAB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长21世纪教育网版权所有【解答】解：连接OA，过点O作OEAB，交AB于点M，直径为200cm，AB=160cm，OA=OE=100cm，AM=80cm，OM=60cm，ME=OEOM=10060=40cm故选：A【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键6在半径为13的O中，弦ABCD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（）A10B4C10或4D10或2【考点】垂径定理；勾股定理【专题】分类讨论【分析】根据题意画出图形，由于AB和CD的位置不能确定，故应分AB与CD在圆心O的同侧和AB与CD在圆心O的异侧两种情况进行讨论【解答】解：当AB与CD在圆心O的同侧时，如图1所示：过点O作OFCD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，ABCD，OFCD，OEAB，AE=AB=24=12，在RtAOE中，OE=5，OF=OE+EF=5+7=12，在RtOCF中，CF=5，CD=2CF=25=10；当AB与CD在圆心O的异侧时，如图2所示：过点O作OFCD于点F，反向延长交AB于点E，连接OA，OC，ABCD，OFCD，OEAB，AE=AB=24=12，在RtAOE中，OE=5，OF=EFOE=75=2，在RtOCF中，CF=，CD=2CF=2=2故CD的长为10或2故选D【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解7如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（）AA=DBCE=DECACB=90DCE=BD【考点】垂径定理【专题】压轴题【分析】根据垂径定理，直径所对的角是直角，以及同弧所对的圆周角相等，即可判断【解答】解：AB是O的直径，CD为弦，CDAB于ECE=DE故B成立；A、根据同弧所对的圆周角相等，得到A=D，故该选项正确；C、根据直径所对的圆周角是直角即可得到，故该选项正确；D、CE=DE，而BED是直角三角形，则DEBD，则该项不成立故选D【点评】本题主要考查了垂径定理的基本内容，以及直径所对的圆周角是直角8如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CDAB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（）A4B8C2D4【考点】垂径定理；勾股定理【专题】探究型【分析】先根据O的直径AB=12求出OB的长，再由BP：AP=1：5求出BP的长，故可得出OP的长，连接OC，在RtOPC中利用勾股定理可求出PC的长，再根据垂径定理即可得出结论【解答】解：O的直径AB=12，OB=AB=6，BP：AP=1：5，BP=AB=12=2，OP=OBBP=62=4，CDAB，CD=2PC如图，连接OC，在RtOPC中，OC=6，OP=4，PC=2，CD=2PC=22=4故选D【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键9如图，O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，APO=30，则弦AB的长为（）A2BC2D【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理【专题】压轴题【分析】先过O作OCAP，连结OB，根据OP=4，APO=30，求出OC的值，在RtBCO中，根据勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值【解答】解：过O作OCAP于点C，连结OB，OP=4，APO=30，OC=sin304=2，OB=3，BC=，AB=2；故选A【点评】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形二、填空题（共15小题）10如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为0.8m【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】过O点作OCAB，C为垂足，交O于D，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=0.5m，再在RtAOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度【解答】解：如图，过O点作OCAB，C为垂足，交O于D、E，连OA，OA=0.5m，AB=0.8m，OCAB，AC=BC=0.4m，在RtAOC中，OA2=AC2+OC2，OC=0.3m，则CE=0.3+0.5=0.8m，故答案为：0.8【点评】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用11赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=25米【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可【解答】解：根据垂径定理，得AD=AB=20米设圆的半径是r，根据勾股定理，得R2=202+（R10）2，解得R=25（米）故答案为25【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算12如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OCAB交外圆于点C测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是50cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质【分析】根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径【解答】解：如图，连接OA，CD=10cm，AB=60cm，CDAB，OCAB，AD=AB=30cm，设半径为r，则OD=r10，根据题意得：r2=（r10）2+302，解得：r=50这个车轮的外圆半径长为50cm故答案为：50cm【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键13一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于1.6m【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论【解答】解：如图：AB=1.2m，OEAB，OA=1m，OE=0.8m，水管水面上升了0.2m，OF=0.80.2=0.6m，CF=m，CD=1.6m故答案为：1.6【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键14如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为0.5米【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点C为弧AB的中点，由垂径定理知ABOC，AD=BD=AB=1.5米再根据勾股定理求得OD即可【解答】解：点C为弧AB的中点，O为圆心由垂径定理知：ABOC，AD=BD=AB=1.5米，在RtOAD中，根据勾股定理，OD=2（米），CD=OCOD=2.52=0.5（米）；故答案为0.5【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键15如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为0.2 m【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】过O作OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，在直角三角形AOC中，由水面高度与半径求出OC的长，即可得出排水管内水的深度【解答】解：过O作OCAB，交AB于点C，可得出AC=BC=AB=0.4m，由直径是1m，可知半径为0.5m，在RtAOC中，根据勾股定理得：OC=0.3（m），则排水管内水的深度为：0.50.3=0.2（m）故答案为：0.2【点评】此题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键16把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则O的半径为5【考点】垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质【专题】几何图形问题【分析】首先由题意，O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH=8r，然后在RtOFH中，r2（16r）2=82，解此方程即可求得答案21教育网【解答】解：由题意，O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，在矩形ABCD中，ADBC，而IGBC，IGAD，在O中，FH=EF=4，设求半径为r，则OH=8r，在RtOFH中，r2（8r）2=42，解得r=5，故答案为：5【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用17如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3，则AB=4【考点】垂径定理；勾股定理【专题】计算题【分析】根据AE与BE比值，设出AE为x与BE为3x，由AE+BE表示出AB，进而表示出OA与OB，由OAAE表示出OE，连接OC，根据AB与CD垂直，利用垂径定理得到E为CD中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长【来源：21cnj*y.co*m】【解答】解：连接OC，根据题意设AE=x，则BE=3x，AB=AE+EB=4x，OC=OA=OB=2x，OE=OAAE=x，ABCD，E为CD中点，即CE=DE=CD=3，在RtCEO中，利用勾股定理得：（2x）2=32+x2，解得：x=，则AB=4x=4故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键18如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CDAB交外圆于点C测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为50cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质【专题】几何图形问题【分析】设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，根据CD=10cm，AB=60cm，设半径为r，则OD=r10，根据垂径定理得：r2=（r10）2+302，求得r的值即可【解答】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，CD=10cm，AB=60cm，设半径为r，则OD=r10，根据题意得：r2=（r10）2+302，解得：r=50，故答案为：50【点评】本题考查了垂径定理的应用，解题的关键是正确构造直角三角形19如图是一圆形水管的截面图，已知O的半径OA=13，水面宽AB=24，则水的深度CD是8【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，根据CD=ODOC即可得出结论【解答】解：O的半径OA=13，水面宽AB=24，ODAB，OD=OA=13，AC=AB=12，在RtAOC中，OC=5，CD=ODOC=135=8故答案为：8【点评】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题时往往是找出直角三角形，利用勾股定理求解20平面内有四个点A、O、B、C，其中AOB=120，ACB=60，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是2，3，4【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质【专题】压轴题【分析】分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以推出点C在以点O为圆心的圆上；如图2，根据已知条件可知对角AOB+ACB=180，则四个点A、O、B、C共圆分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边MAO的性质来求OC的长度【解答】解：如图1，AOB=120，ACB=60，ACB=AOB=60，点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上OC=AO=BO=2；如图2，AOB=120，ACB=60，AOB+ACB=180，四个点A、O、B、C共圆设这四点都在M上点C在优弧AB上运动连接OM、AM、AB、MBACB=60，AMB=2ACB=120AO=BO=2，AMO=BMO=60又MA=MO，AMO是等边三角形，MA=AO=2，MAOC2MA，即2OC4，OC可以取整数3和4综上所述，OC可以取整数2，3，4故答案是：2，3，4【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质此题需要分类讨论，以防漏解在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系21如图，AB是O的弦，OCAB于点C，连接OA、OB点P是半径OB上任意一点，连接AP若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是6cm（写出一个符合条件的数值即可）【考点】垂径定理；勾股定理【专题】开放型【分析】根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AB，即可得出AP的范围是大于等于5cm且小于等于8cm，举出即可【解答】解：OCAB，ACO=90，OA=5cm，OC=3cm，由勾股定理得：AC=4cm，由垂径定理得：AB=2AC=8cm，只要举出的数大于等于5且小于等于8cm即可，如6cm，故答案为：6【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是求出AP的范围22如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm【考点】垂径定理；勾股定理【专题】压轴题【分析】通过作辅助线，过点O作ODAB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长【解答】解：过点O作ODAB交AB于点D，连接OA，OA=2OD=2cm，AD=cm，ODAB，AB=2AD=cm故答案为：2【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用23如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），P的半径为，则点P的坐标为（3，2）【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理【专题】压轴题；探究型【分析】过点P作PDx轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案21cnjy【解答】解：过点P作PDx轴于点D，连接OP，A（6，0），PDOA，OD=OA=3，在RtOPD中，OP=，OD=3，PD=2，P（3，2）故答案为：（3，2）【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键24如图，已知O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且MEB=NFB=60，则EM+FN=【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理【专题】压轴题【分析】延长ME交O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OHMG于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解21世纪*教育网【解答】解：如图，延长ME交O于G，E、F为AB的三等分点，MEB=NFB=60，FN=EG，过点O作OHMG于H，连接MO，O的直径AB=6，OE=OAAE=66=32=1，OM=6=3，MEB=60，OH=OEsin60=1=，在RtMOH中，MH=，根据垂径定理，MG=2MH=2=，即EM+FN=故答案为：【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点三、解答题（共6小题）25如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径【版权所有：21教育】【考点】垂径定理的应用；勾股定理；相似三角形的应用【分析】根据已知得出旗杆高度，进而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可【解答】解：小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，8米高旗杆DE的影子为：12m，测得EG的长为3米，HF的长为1米，GH=1231=8（m），GM=MH=4m如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG设小桥所在圆的半径为r，MN=2m，OM=（r2）m在RtOGM中，由勾股定理得：OG2=OM2+42，r2=（r2）2+16，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据已知得出关于r的等式是解题关键26如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r【考点】垂径定理的应用；勾股定理【分析】根据垂径定理可得AF=AB，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解【解答】解：弓形的跨度AB=3m，EF为弓形的高，OEAB于F，AF=AB=m，所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1m，AO=r，OF=r1，在RtAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=（）2+（r1）2，解得r=（m）答：所在圆O的半径为m【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，此类题目通常采用把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答27在O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，BAC=25，请直接写出DCA的度数【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）【分析】（1）过点O作OEAC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在RtAOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出ACB，根据直角三角形两锐角互余求出B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解【解答】解：（1）如图，过点O作OEAC于E，则AE=AC=2=1，翻折后点D与圆心O重合，OE=r，在RtAOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（r）2，解得r=；（2）连接BC，AB是直径，ACB=90，BAC=25，B=90BAC=9025=65，根据翻折的性质，所对的圆周角为B，所对的圆周角为ADC，ADC+B=180，B=CDB=65，DCA=CDBA=6525=40【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键28如图，已知ABC是O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC（1）如图，若BPC=60求证：AC=AP；（2）如图，若sinBPC=，求tanPAB的值【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形【专题】探究型【分析】（1）根据圆周角定理得BPC=BAC=60，可判断ABC为等边三角形，ACB=ABC=60，再利用圆周角定理得到APC=ABC=60，而点P是的中点，则ACP=ACB=30，于是PAC=90，然后根据30度的正切可计算出AC=AP；（2）过A点作ADBC交BC于D，连结OP交AB于E，根据垂径定理的推论得到点O在AD上，连结OB，根据圆周角定理得BOD=BAC，BPC=BAC，所以sinBOD=sinBPC=，设OB=25x，则BD=24x，在RtOBD中可计算出OD=7x，再在RtABD计算出AB=40x，由于点P是的中点，根据垂径定理的推论OP垂直平分AB，则AE=AB=20x，在RtAEO中，根据勾股定