江苏省扬州市2016届高三上学期期末调研考试数学试题PDF(解析版).pdf

扬州市 2015 2016 学年度第一学期期末检测试题扬州市 2015 2016 学年度第一学期期末检测试题 高三数学2016 1 第一部分第一部分 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请将答案填写在答题卡相应位置 1 已知集合 02 2 xxxA 210 B 则 BA 答案 1 命题立意 本题旨在考查集合的运算 不等式的求解 考查概念的理解和运算能力 难度较小 解析 集合 2 2002Ax xxxx 210 B 故 1AB 2 若复数 i 32i z i是虚数单位 则z的虚部为 答案 3 命题立意 本题旨在考查复数的运算与概念 考查概念的理解和运算能力 难度较小 解析 i 32i 23iz 故z的虚部为 3 3 如图 若输入的x值为3 则相应输出的值为 答案 1 2 命题立意 本题旨在考查算法的流程图及其应用 考查运算和推理能力 难度较小 解析 输入的x值为3 31 sincos 3232 1 cos 32 y 输出的值为 1 2 4 某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高 据测量被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间 将测量结果按如下方式分成八组 第一组 160155 第二组 165160 第 八组 195190 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示 估计这所学校高三年级 全体男生身高 180cm 以上 含 180cm 的人数为 答案 144 命题立意 本题旨在考查频率分布直方图的计算 考查概念的理解和运算能力 难度较小 解析 由题意得 这所学校高三年级全体男生身高在 180cm 以上 含 180cm 的人数为 800 1 0 008 5 0 016 5 0 04 5 2 0 06 5 144 人 5 双曲线 1 169 22 yx 的焦点到渐近线的距离为 答案 4 命题立意 本题旨在考查双曲线的几何性质 考查概念的理解和运算能力 难度较小 解析 双曲线 1 169 22 yx 的焦点为 5 0 5 0 渐近线为 4 3 yx 故焦点到渐近线的距 离为 22 20 4 34 d 6 从 1 2 3 4 5 这 5 个数中 随机抽取 2 个不同的数 则这 2 个数的和为偶数的概率是 答案 2 5 命题立意 本题旨在考查古典概率的定义 列举法求概率 考查运算能力 难度较小 解析 从1 2 3 4 5这四个数中随机取两个数有以下 10 种可能 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 取出的数中和为偶数的有 4 种可能 1 3 1 5 2 4 3 5 故 由古典概率的定义可得取出的数中和为偶数的概率为 2 5 7 已知等比数列 n a 满足 42 12 aa 5 2 3 aa 则该数列的前 5 项的和为 答案 31 命题立意 本题旨在考查等比数列的通项公式及前 n 项和公式 推理及分析能力 难度中等 解析 由 42 12 aa 5 2 3 aa 得 11 244 11 24a qa a qa q 解得 1 2 1 q a 由等比数列前 n 项和公式 得 5 5 1 2 31 1 2 S 8 已知正四棱锥底面边长为 24 体积为 32 则此四棱锥的侧棱长为 答案 5 命题立意 本题旨在考查棱锥的几何性质 棱锥的体积 考查运算能力 难度中等 解析 设四棱锥的高为h 由题意可得 2 1 324 2 3 h 四棱锥的高h为 3 正四棱锥底面边 长为 24 对角线的一半为 4 四棱锥的侧棱长为 22 345 9 已知函数 3 2sin xxf x 0 且 2 1 ff 则 答案 7 6 命题立意 本题旨在考查三角函数的图象与性质 考查概念的理解和运算能力 难度较小 解析 1 sin 2 32 f xx 22 36 xk 或 5 22 36 xk 即 12 xk 或 4 xk x 0 11 12 x 或 4 x 2 1 ff 117 1246 10 已知 sin cos m 12 n 22 若 1 nm 则 2 3 2sin 答案 7 25 命题立意 本题旨在考查平面向量的数量积 三角恒等变换 考查运算能力 难度中等 解析 sin cos m 12 n 22 1 nm 2cossin1m n 又 22 cossin1 4 cos 5 则 2 7 cos22cos1 25 37 sin 2 cos2 225 11 已知 1 ba 且 7log3log2 ab ba 则 1 1 2 b a 的最小值为 答案 3 命题立意 本题旨在考查对数的运算 基本不等式 考查转化思想与计算能力等 难度中等 解 析 1 ba 且 7log3log2 ab ba 3 2log7 log a a b b 解 得 1 log 2 ab 或 log3 ab 1 ba 1 log 2 ab 即 2 ab 2 11 11 11 aa ba 1 2113 1 a a 12 已知圆 O 4 22 yx 若不过原点 O 的直线l与圆 O 交于P Q两点 且满足直线OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 则直线l的斜率为 答案 1 命题立意 本题旨在考查直线与圆的位置关系 等比数列的性质 考查运算能力 难度中等 解析 由题意可知 直线l的斜率存在且不为 0 故可设直线l的方程为 0ykxm m 1122 P x yQ xy 由 22 4 ykxm xy 消去 y 可得 222 1240kxkmxm 因为直线 OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 所以 22 12122 12 1212 k x xkm xxmy y k x xx x 即 22 2 2 4 4 mk k m 又 0m 所以 2 1k 即 1k 故直线l的斜率为1 13 已 知 数 列 n a 中 aa 1 20 a 2 3 2 2 1 nn nn n aa aa a Nn 记 nn aaaS 21 若 2015 n S 则 n 答案 1343 命题立意 本题旨在考查等差数列前 n 项和 数列求和 考查分类讨论思想 推理及运算能力 难度中等 解析 因为 aa 1 20 a 由题意可知 21 33aaa 当0 1a 时 2 33a 当 2n 时 1 2 nn aa 首 项 为 3a 公 差 为 2的 等 差 数 列 故 12 12 12 2 n nn Sana 即 2 6202020nana 0 方程无解 当1 2a 时 1 32a 1 3 nn aa 1234nn Saaaaa 当 n 为偶数时 12 3 2015 22 n n Saan 无解 当 n 为奇数时 11 32015 22 n nn Saa 即 4033212 1344 333 aa n 当 2a 时 1343n 当 2a 时 无解 综上所述 n 1343 14 已知函数 xf 是定义在R上的奇函数 当 0 x 时 aaxaxxf32 2 1 若集合 Rxxfxfx 0 1 则实数a的取值范围为 答案 1 6 命题立意 本题旨在考查分段函数 函数的解析式与函数的值域 考查概念的理解和运算能力 难度中等 解析 集合 Rxxfxfx 0 1 1xR f xf x 函数 xf 是 定义在R上的奇函数 当 0 x 时 1 23 2 f xfxxaxaa 当 0a 时 当 0 x 时 1 23 2 f xxaxaax 1f xf x 恒成立 当 0 x 时 1 23 2 f xxaxaax 1f xf x 恒成立 当 0a 且 4faa 4faa 若 Rx 1f xf x 则 421 241 aa aa 解得 1 6 a 故实数a的取值范围为 1 6 故答案为 1 6 二 解答题 本大题共 6 小题 计 90 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 如图 已知直三棱柱 111 CBAABC 中 ACAB D E分别为BC 1 CC 中点 DBBC 11 1 求证 DE 平面 1 ABC 2 求证 平面 DAB1 平面 1 ABC 答案 1 略 2 略 命题立意 本题旨在考查直线与平面平行的判定 平面与平面的判定 考查空间想象 推理论证 能力 难度中等 解析 证明 1 D E分别为BC 1 CC中点 1 DEBC 2 分 DE 平面 1 ABC 1 BC 平面 1 ABC DE 平面 1 ABC 6 分 2 直三棱柱 111 ABCA BC 中 1 CC 平面ABCAD 平面ABC 1 CCAD 8 分 ABAC D为BC中点ADBC 又 1 CCBCC 1 CC BC 平面 11 BCC B 11 面ADBCC B 1 BC 平面 11 BCC B 1 ADBC 11 分 又 11 BCB D 1 B DADD 1 B D AD 平面 1 AB D 1 BC 平面 1 AB D 1 BC 平面 1 ABC 平面 1 AB D 平面 1 ABC 14 分 16 本小题满分 14 分 已知函数 xxxxf cossincos3 2 0 的周期为 1 当 2 0 x 时 求函数 xf 的值域 2 已知 ABC 的内角A B C对应的边分别为a b c 若 3 2 A f 且 4 a 5 cb 求 ABC 的面积 答案 1 3 0 1 2 2 3 3 4 命题立意 本题旨在考查三角函数的图象与性质 三角函数的解析式 三角恒等变换公式 余弦 定理的运用 考查计算能力 书写表达 能力 难度较小 解析 1 313 1cos2 sin2sin 2 2232 f xxxx 2 分 f x 的周期为 且0 2 2 解得1 3 sin 2 32 f xx 4 分 又0 2 x 得 4 2 333 x 3 sin 2 1 23 x 33 0sin 2 1 322 x 即函数 yf x 在 0 2 x 上的值域为 3 0 1 2 7 分 2 3 2 A f 3 sin 32 A 由 0 A 知 4 333 A 解得 2 33 A 所以 3 A 9 分 由余弦定理知 222 2cosabcbcA 即 22 16bcbc 2 16 3bcbc 因为5bc 所以3bc 12 分 13 sin3 24 ABC SbcA 14 分 17 本小题满分 15 分 如图 已知椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的左 右焦点为 1 F 2 F P是椭圆上一点 M在 1 PF 上 且满足 MPMF 1 R MFPO 2 O为坐标原点 1 若椭圆方程为 1 48 22 yx 且 22P 求点M的横坐标 2 若 2 求椭圆离心率e的取值范围 答案 1 6 5 2 1 1 2 命题立意 本题旨在考查直线方程 椭圆的几何性质 平面向量的数量积 考查运算和推理能力 难度中等 解析 1 22 1 84 xy 12 2 0 2 0 FF 21 22 2 24 OPF MF M kkk 直线 2 F M的方程为 2 2 yx 直线 1 F M的方程为 2 2 4 yx 4 分 由 2 2 2 2 4 yx yx 解得 6 5 x 点M的横坐标为 6 5 6 分 2 设 00 MM P xyM xy 1 2FMMP 100 2 3 MM FMxc yxc y 00200 212242 333333 MxcyF Mxcy 2 POF M 00 OPxy 2 000 242 0 333 xc xy 即 22 000 2xycx 9 分 联立方程得 22 000 22 00 22 2 1 xycx xy ab 消去 0 y得 222222 00 2 0c xa cxa ac 解得 0 a ac x c 或 0 a ac x c 12 分 0 axa 0 0 a ac xa c 2 0aacac 解得 1 2 e 综上 椭圆离心率e的取值范围为 1 1 2 15 分 18 本小题满分 15 分 某隧道设计为双向四车道 车道总宽 20 米 要求通行车辆限高 4 5 米 隧道口截面的拱线近似 地看成抛物线形状的一部分 如图所示建立平面直角坐标系 xoy 1 若最大拱高h为 6 米 则隧道设计的拱宽l是多少 2 为了使施工的土方工程量最小 需隧道口截面面积最小 现隧道口的最大拱高h不小于 6 米 则应如何设计拱高h和拱宽l 使得隧道口 截面面积最小 隧道口截面面积公式为 lhS 3 2 答案 1 40 米 2 当20 3l 27 4 h 隧道口截面面积最小 命题立意 本题旨在考查数学模型的应用 导数在函数中求最值的应用问题 考查建模能力 运 算和推理能力 难度中等 解析 1 设抛物线的方程为 2 0 yax a 则抛物线过点 3 10 2 代入抛物线方程解得 3 200 a 3 分 令6y 解得 20 x 则隧道设计的拱宽 l 是 40 米 5 分 2 抛物线最大拱高为 h 米 6h 抛物线过点 9 10 2 h 代入抛物线方程得 9 2 100 h a 令yh 则 2 9 2 100 h xh 解得 2 100 9 2 h x h 则 2 100 9 2 2 lh h 2 2 9 2 400 l h l 9 分 2 2 9 2 66 400 l h l 即2040l 2 3 22 9 223 2 2040 33400400 l l Slhll ll 12 分 223222 222222 9 400 323 1200 3 20 3 20 3 400 400 400 lllllllll S lll 当2020 3l 时 0S 当20 340l 时 0S 即S在 20 20 3 上单调减 在 20 3 40 上单调增 S 在20 3l 时取得最小值 此时20 3l 27 4 h 答 当拱高为 27 4 米 拱宽为20 3米时 使得隧道口截面面积最小 15 分 19 本小题满分 16 分 已知函数 x exaxxf 2 2 0 a 其中e是自然对数的底数 1 当 2 a 时 求 xf 的极值 2 若 xf 在 22 上是单调增函数 求a的取值范围 3 当 1 a 时 求整数t的所有值 使方程 4 xxf 在 1 tt 上有解 答案 1 3 2 5f xe 极大值 1 3f xe 极小值 2 3 0 1 2 3 4 0t 命题立意 本题旨在考查导数在函数的单调性与极值 最值中的应用 考查零点定理 考查转化 思想与分类讨论思想及其应用 难度较大 解析 1 2 22 x f xxxe 则 2 253 1 23 xx fxxxexxe 2 分 令 0fx 3 1 2 x x 3 2 3 2 3 1 2 1 1 fx 0 0 f x 增极大值减极小值增 3 2 3 5 2 极大值 f xfe 1 1 3 极小值 f xfe 4 分 2 问题转化为 2 21 30 x fxaxaxe 在 2 2 x 上恒成立 又0 x e 即 2 21 30axax 在 2 2 x 上恒成立 6 分 2 21 3令g xaxax 0a 对称轴 1 10 2 x a 当 1 12 2a 即 1 0 2 a 时 g x在 2 2 上单调增 min 2 10g xg 1 0 2 a 8 分 当 1 210 2a 即 1 2 a 时 g x在 1 2 1 2a 上单调减 在 1 1 2 2a 上单调增 2 21 120aa 解得 33 11 22 a 13 1 22 a 综上 a的取值范围是 3 0 1 2 10 分 3 1 a 设 2 2 4 x h xxxex 2 33 1 x h xxxe 令 2 33 1 x xxxe 2 56 x xxxe 令 2 56 0 2 3得 x xxxex x 3 3 3 2 2 2 x 0 0 x 增极大值减极小值增 3 3 3 10 极大值 x e 2 1 2 10 极小值 x e 13 分 1 1 10 0 20 e 000 1 0 0 0存在 时 时xxxxxxx h x 在 0 x 上单调减 在 0 x 上单调增 又 43 148 4 0 3 10 0 20 1 450hhhhe ee 由零点的存在性定理可知 12 0 4 3 0 1 的根h xxx 即4 0t 16 分 20 本小题满分 16 分 若数列 n a 中不超过 mf 的项数恰为 m b Nm 则称数列 m b 是数列 n a 的生成数列 称相应的函数 mf 是数列 n a 生成 m b 的控制函数 1 已知 2 nan 且 2 mmf 写出 1 b 2 b 3 b 2 已知 nan2 且 mmf 求 m b 的前m项和 m S 3 已知 n n a2 且 3 Ammf NA 若数列 m b 中 1 b 2 b 3 b 是公差为d 0 d 的等差数列 且 10 3 b 求d的值及A的值 答案 1 1 1b 2 2b 3 3b 2 2 2 1 4 4 为奇数 为偶数 m m m S m m 3 3d 64A 或65 命题立意 本题旨在考查数列求和 考查分类讨论思想及推理能力 难度中等 解析 1 1m 则 1 11a 1 1b 2m 则 1 14a 2 44a 2 2b 3m 则 1 19a 2 49a 3 99a 3 3b 3 分 2 m为偶数时 则2nm 则 2 m m b m为奇数时 则21nm 则 1 2 m m b 1 2 2 为奇数 为偶数 m m m b m m 5 分 m为偶数时 则 2 12 11 12 2224 mm mm Sbbbm m为奇数时 则 22 1211 1 11 424 mmmm mmm SbbbSb 2 2 1 4 4 为奇数 为偶数 m m m S m m 8 分 3 依题意 2n n a 1 fA 2 8fA 5 125fA 设 1 bt 即数列 n a中 不超过A的项恰有t项 所以 1 22 tt A 同理 1221 282 21252 t dt dtdtd AA 即 1 32 221 22 22 22 125125 tt t dt d tdtd A A A 故 221 312 22 max 2 2 min 2 2 125125 tdtd tt dtt d A 由 31 2 2 22 2 2 125 t dt td t d 得4d d 为正整数1 2 3d 10 分 当1d 时 2 3 2242 max 2 2 max 2 2 1254125 tdtt tt dtt 21 121 228282 min 2 2 min 2 2 1252125125 tdttt tt dtt 不合题意 舍去 当2d 时 2 31 2162 max 2 2 max 2 2 2 125125 tdt tt dttt 21 121 2322322 min 2 2 min 2 2 2 125125125 tdtt tt dttt 不合题意 舍去 当3d 时 2 3 2642 max 2 2 max 2 2 2 125125 tdt tt dttt 21 1211 212821282 min 2 2 min 2 2 2 125125125 tdtt tt dttt 适合题意 12 分 此时 128 22 125 tt A 125 3 6bt btbt 3 36tbt 3 10b 47t t 为整数4 5 6ttt 或7t 3 27fA 3 10b 1011 2272A 1011 22 2727 A 14 分 当4t 时 11 4 2 2 125 A 无解 当5t 时 12 5 2 2 125 A 无解 当6t 时 13 6 2 2 125 A 13 2 64 125 A 当7t 时 14 7 2 2 125 A 无解 13 6 2 2 125 A AN 64A 或65A 综上 3d 64A 或65 16 分 第二部分 加试部分 第二部分 加试部分 21 本小题满分 10 分 已知直线 1 yxl 在矩阵 10 nm A 对应的变换作用下变为直线 1 yxl 求矩阵A 答案 12 01 命题立意 本题旨在考查矩阵的运算与变换 考查运算求解能力 难度较小 解析 设直线 1l xy 上任意一点 M x y在矩阵A的变换作用下 变换为点 Mx y 由 01 xmnxmxny yyy 得 xmxny yy 5 分 又点 Mx y 在 l 上 所以1xy 即 1mxnyy 依题意 1 11 m n 解得 1 2 m n 12 01 A 10 分 22 本小题满分 10 分 在极坐标系中 求圆 sin8 上的点到直线 3 R 距离的最大值 答案 6 命题立意 本题旨在考查极坐标方程与普通方程的转化 点到直线的距离公式 考查运算求解能 力 难度较小 解析 圆的直角坐标方程为 22 4 16xy 3 分 直线的直角坐标方程为3yx 6 分 圆 心 0 4 到 直 线 的 距 离 为 22 04 2 3 1 d 则 圆 上 点 到 直 线 距 离 最 大 值 为 246Ddr 10 分 23 本小题满分 10 分 某商场举办 迎新年摸球 活动 主办方准备了甲 乙两个箱子 其中甲箱中有四个球 乙箱 中有三个球 每个球的大小 形状完全相同 每一个箱子中只有一个红球 其余都是黑球 若摸中 甲箱中的红球 则可获奖金m元 若摸中乙箱中的红球 则可获奖金n元 活动规定 参与者每 个箱子只能摸一次 一次摸一个球 可选择先摸甲箱 也可先摸乙箱 如果在第一个箱子中摸 到红球 则可继续在第二个箱子中摸球 否则活动终止 1 如果参与者先在乙箱中摸球 求其恰好获得奖金n元的概率 2 若要使得该参与者获奖金额的期望值较大 请你帮他设计摸箱子的顺序 并说明理由 答案 1 1 4 2 当 3 2 m n 时 先在甲箱中摸球 再在乙箱中摸球 参与者获奖金期望值较 大 当 3 2 m n 时 两种顺序参与者获奖金期望值相等 当 3 2 m n 时 先在乙箱中摸球 再在甲 箱中摸球 参与者获奖金期望值较大 命题立意 本题旨在考查相互独立事件的概率 随机变量的数学期望 方案的选择与决策 考查 运算推理能力 难度中等 解析 1 设参与者先在乙箱中摸球 且恰好获得奖金n元为事件M 则 131 344 P M 即参与者先在乙箱中摸球 且恰好获得奖金n元的概率为 1 4 4 分 2 参与者摸球的顺序有两种 分别讨论如下 先在甲箱中摸球 参与者获奖金 可取0 m mn 则 3121111 0 44364312 PPmPmn 311 0 4612412 mn Emmn 6 分 先在乙箱中摸球 参与者获奖金 可取0 n mn 则 2131111 0 33443412 PPnPmn 211 0 3412123 mn Enmn 8 分 23 12 mn E