必修1数学方法总结.pdf

李霖整理1 高中数学必修一第一章常见方法 一 求函数定义域的常用方法 1 根据解析式要求如偶次根式的被开方大于等于零偶次根式的被开方大于等于零 分母不能为零分母不能为零 例例 1 1 3 102 x x y的定义域 解 3 3 5 03 0102 x x x 2 根据实际问题的要求确定自变量的范围 实际问题中函数定义域除了受解析式限制外 还受实际意义限制 如时间变量一般取非负数 例例 2 2 用长为L的铁丝弯成下部为矩形 上部为半圆形的框架 如图 若矩形底边长为x2 求此此框架围成图形的面积y关于x的函数关系式 解 因为半圆的半径为x 所以矩形的另一边长为 2 2 Lxx 所以 2 2 2 22 Lxx yxx 2 4 2 xL x 由 20 1 2 0 2 x Lxx 得 2 0 L x 故所求的函数关系式为y 2 4 2 xL x 2 0 L x 3 抽象函数的定义域 1 若已知 f x的定义域为 a b 其复合函数 f g x的定义域由不等式 ag xb 解出即可 例例 3 3 若函数 xf的定义域为 23 则函数 21 fx 的定义域是 解 2 5 0 3122 xx 21 fx 的定义域为 2 5 0 李霖整理2 2 若已知 f g x的定义域为 a b 求 f x的定义域 相当于当 xa b 时 求 g x 的值域 即 f x的定义域 例例 4 4 若函数 12 xf的定义域为 2 1 则函数 f x的定义域为 解 312312xx f x的定义域为 3 3 二 求函数值域的常用方法 1 1 直接法 观察法直接法 观察法 从自变量x的范围出发 推出 yf x 的取值范围 或由函数 的定义域结合图象 或直观观察 准确判断函数值域的方法 例例 1 1 求函数 1 2 3 4 2 xxy的值域 2 4 6 8 y 例例 2 2 求函数1yx 的值域 解 0 x 11x 函数1yx 的值域为 1 2 2 配方法 配方法 利用二次函数在给出区间 m n上求最值 求二二次函数的最值问题 勿忘 数形结合数形结合 注意 两看两看 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 例例 3 3 求函数12 2 xxxf 5 1 x 的值域 解 2 1 12 22 xxxxf 5 1 x 画出大致图像 在1 x取最小值为 2 在5 x取最大值为 14 函数12 2 xxxf 5 1 x 的值域为 14 2 3 3 换元法 换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 其函数特征是函 数解析式含有根式模型 运用换元法时 要特别要注意新元运用换元法时 要特别要注意新元t的范围的范围 例例 4 4 求函数212yxx 的值域 李霖整理3 解 令12tx 0t 则 2 1 2 t x 22 15 1 24 yttt 当 1 2 t 即 3 8 x 时 max 5 4 y 无最小值 函数212yxx 的值域为 5 4 4 4 单调性法 单调性法 利用一次函数 反比例函数等已知函数的单调性 例例 5 5 求函数 1 19 yxx x 的值域 解 当x 9 1 x 增大时 x随x的增大而增大 x 1 随x的增大而增大 函数 1 19 yxx x 是增函数 函数 1 19 yxx x xf的解集为 答 7 5 若奇函数若奇函数 f x定义域中含有定义域中含有 0 0 则必有 则必有 0 0f 如如若 22 21 x x aa f x 为奇函数