江苏省连云港市灌南高级中学2012-2013学年高三（上）期中数学试卷（理科）(含解析).doc

2012-2013学年江苏省连云港市灌南高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸相应位置上1（5分）设集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，B=2，3，则（UA）B=3考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：找出U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出A补集与B的公共元素，即可求出所求的集合解答：解：U=1，2，3，4，5，A=1，2，UA=3，4，5，又B=2，3，则（UA）B=3故答案为：3点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2（5分）若复数z=（是虚数单位），则复数z的虚部是考点：复数的基本概念专题：计算题分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z等于 +i，由此可得它的虚部解答：解：复数z=+i，故它的虚部等于，故答案为 点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）设Sn是等差数列an（nN+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=25考点：等差数列的前n项和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：先由d=求出公差d，然后代入等差数列的求和公式即可求解解答：解：a1=1，a4=7，d=2=25故答案为：25点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4（5分）函数，则f（2）=1考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：按照分段函数解析式的特点代入数值计算即可解答：解：由f（x）解析式得，f（2）=f（2+3）=f（5）=54=1，故答案为：1点评：本题考查分段函数求值，属基础题5（5分）平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+|=考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模专题：平面向量及应用分析：由条件利用两个向量的数量积的定义求出 =1，求出 =+2+ 的值，即可求得的值解答：解：由题意可得|=2，|=1，向量与的夹角为60，=21cos60=1，=+2+=4+2+1=7，=，故答案为 点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题6（5分）已知510角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，2），则m=2考点：任意角的概念专题：三角函数的求值分析：利用诱导公式求得cos510=，再由任意角的三角函数的定义可得m0且=，由此求得m的值解答：解：510=360+150，cos510=cos150=cos30=再由510角的终边经过点P（m，2），可得m0，且 cos510=，解得 m=2，故答案为2点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的性质，属于基础题7（5分）函数的定义域是考点：对数函数的定义域专题：计算题分析：欲求函数的定义域，只需找到使函数解析式有意义的x的取值范围，因为函数中有对数，所以真数大于0，因为函数中有二次根式，所以被开方数大于等于0，解不等式组即可解答：解：要使函数有意义，需满足，解得函数的定义域为故答案为点评：本题主要考察了函数定义域的求法，主要是求使函数成立的x的取值范围8（5分）（2012上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（1）=3考点：函数奇偶性的性质；函数的值专题：计算题分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（x）=f（x）+2+f（x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（1）=4，从而解出答案解答：解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2g（x）+g（x）=f（x）+2+f（x）+2=4又g（1）=11+g（1）=4，解得g（1）=3故答案为3点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值9（5分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2013的值为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和专题：综合题；导数的概念及应用分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论解答：解：由f（x）=x2+bx求导得：f（x）=2x+b，函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1）处的切线l与直线3xy+2=0平行，f（1）=2+b=3，b=1，f（x）=x2+x所以f（n）=n（n+1），=S2013的值为1+=1=故答案为：点评：本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题10（5分）在锐角ABC中，若A=2B，则的取值范围是（，）考点：正弦定理专题：解三角形分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围解答：解：A=2B，根据正弦定理=得：=2cosB，A+B+C=180，3B+C=180，即C=1803B，C为锐角，30B60，又0A=2B90，30B45，cosB，即2cosB，则的取值范围是（，）故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键11（5分）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（1，0）（0，+）考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；导数的综合应用分析：利用导数进行理解，即f（x）0在（0，+）上有解可得ax2+2x10在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围解答：解：对函数求导数，得f（x）=，（x0）依题意，得f（x）0在（0，+）上有解即ax2+2x10在x0时有解=4+4a0且方程ax2+2x1=0至少有一个正根a1，a0，1a0，或a0故答案为：（1，0）（0，+）（5分）点评：本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查同学们灵活运用知识解决问题的能力12（5分）（2010马鞍山模拟）如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=5考点：向量在几何中的应用专题：计算题；转化思想分析：先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论解答：解：因为=（+）+（+）=+（）=（）（）=（）（）=3222=5故答案为5点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及向量的加法运算，是对基础知识的考查，属于基础题目13（5分）（2011盐城模拟）已知函数f（x）=|x26|，若ab0，且f（a）=f（b），则a2b的最小值是16考点：利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：由题意可得 a26=6b2，即 a2+b2=12，2b0，故g（b）=a2b=（12b2） b=12bb3利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值解答：解：函数f（x）=|x26|，若ab0，且f（a）=f（b），a26=6b2，即 a2+b2=12b0，a2b=（12b2） b=12bb3设g（b）=12bb3，则 g（b）=123b2，令 g（b）=0，解得b=2，所以，g（b）在（，2）上单调递减，g（b）在2，0）上单调增，故g（b）最小值是g（2）=24+8=16，故答案为16点评：本题主要考查二次函数的性质应用，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值，属于基础题14（5分）（2011盐城模拟）设等差数列an满足：公差dN*，anN*，且an中任意两项之和也是该数列中的一项若a1=35，则d的所有可能取值之和为364考点：等差数列的性质专题：计算题分析：先求出数列的通项公式，求出数列an中任意两项之和，根据数列an中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=，再结合k，m，n，dN*，即可求出d的所有可能取值进而求出结论解答：解：设等差数列的公差为d，若a1=35，=243，则an=243+（n1）d所以数列an中任意两项之和am+an=243+（m1）d+243+（n1）d=486+（m+n2）d设任意一项为ak=243+（k1）d则由am+an=ak 可得 243+（m+nk1）d=0，化简可得 d=再由k，m，n，dN*，可得 k+1mn=1，3，9，27，81，243，d=243，81，27，9，3，1，则d的所有可能取值之和为 364，故答案为 364点评：本题主要考查等差数列的性质解决问题的关键在于利用数列an中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=，属于中档题二解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15（14分）（2011日照模拟）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围考点：充分条件；命题的真假判断与应用分析：（1）pq为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）p是q的充分不必要条件q是p的充分不必要条件，即qp，反之不成立即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集解答：解：（1）a=1时，命题p：x24x+301x3命题q：2x3，pq为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2x3（2）p是q的充分不必要条件q是p的充分不必要条件，即qp，反之不成立即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集由（1）知命题q：2x3，命题p：实数x满足x24ax+3a20（xa）（x3a）0由题意a0，所以命题p：ax3a，所以，所以1a2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大16（14分）（2011新余二模）已知函数，其中=，（1）求函数f（x）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，f（A）=1，且b=1ABC的面积，求边a的值考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数中的恒等变换应用；解三角形专题：计算题分析：（1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后结合余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间，确定函数 在上的单调增区间，单调减区间，然后求出函数的最大值最小值，即可确定函数的值域（2）由于f（A）=1，求得又求得c=4最后由余弦定理得a值即可解答：解：（1）=（2分）由得，又单调增区间为（4分）由1f（x）2f（x）1，2（6分）（2）f（A）=1，（8分）又，c=4（10分）由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=13（12分）点评：本题是基础题，考查向量数量积的应用，三角函数的化简求值，单调区间的求法，最值的求法，考查计算能力，注意函数值域的确定中，区间的讨论，单调性的应用是解题的易错点17（15分）设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an，n=1，2，3，（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列bn的通项公式；（3）设cn=n （3bn），求数列cn的前n项和为Tn考点：数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式专题：计算题分析：（1）利用数列中an与 Sn关系解决（2）结合（1）所求得出bn+1bn=利用累加法求bn（3）由上求出cn=n （3bn）=，利用错位相消法求和即可解答：解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1因为Sn=2an，即an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2两式相减：an+1an+Sn+1Sn=0，即an+1an+an+1=0，故有2an+1=an因为an0，所以=（ nN*）所以数列an是首项a1=1，公比为的等比数列，an=（ nN*）（2）因为bn+1=bn+an（ n=1，2，3，），所以bn+1bn=从而有b2b1=1，b3b2=，b4b3=，bnbn1=（ n=2，3，）将这n1个等式相加，得bnb1=1+=2又因为b1=1，所以bn=3（ n=1，2，3，）（3）因为cn=n （3bn）=，所以Tn= = ，得=故Tn=8=8（ n=1，2，3，）点评：本题考查利用数列中an与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力18（15分）（2012上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合专题：应用题分析：（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向； （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论解答：解：（1）t=0.5时，P的横坐标xP=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=32分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时4分由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）由vt=，整理得10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v21442+337=252，即v25因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题19（16分）已知函数（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在2，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在1，e上的最小值为3，求实数a的值考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（1）把a=1代入函数解析式，求导后由导函数等于0把定义域分段，判断出各区间段内的导函数的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，从而判断出极值点并求出极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在2，+）大于等于0恒成立得到x2a0在2，+）恒成立，分离变量a后即可得到a的取值范围；（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间1，e上的单调性，由单调性求得原函数在1，e上的最小值，由最小值等于3解得a的值解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+，定义域为（0，+），所以，当x（0，2）时，f（x）0，f（x）为减函数；当x（2，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，所以在（0，+）上f（x）有极小值，极小值为f（2）=1+ln2；（2）由，所以若函数f（x）在2，+）上是增函数，则在2，+）恒成立，即x2a0在2，+）恒成立，也就是在2，+）恒成立，所以a1所以使函数f（x）在2，+）上是增函数的实数a的取值范围是（，1；（3）由（2）知，以，若a0，则f（x）0，f（x）在（0，+）上为增函数，f（x）在1，e上的最小值为f（1）=2a=3，不合题意；若a0，由f（x）=0，得x=2a当x（0，2a）时，f（x）0，f（x）为减函数，当x（2a，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，所以当2a1，即时，f（x）在1，e上为增函数，最小值为f（1）=2a=3，不合题意；当2ae，即a时，f（x）在1，e上为减函数，最小值为f（e）=1+=3，a=e，符合题意；当12ae，即时，f（x）在1，e上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=不合题意综上，使函数f（x）在1，e上的最小值为3的实数a的值为e点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了