2.2.1.椭圆的标准方程（第1课时）椭圆的标准方程1.ppt

椭圆及其标准方程 一 2003年10月15日是全中国人感到骄傲和自豪的日子 这一天在中国发生了什么震惊世人的事件 中国人终于实现了什么梦想 在我们实际生活中 同学们见过椭圆吗 能举出一些实例吗 想一想 如何精确地设计 制作 建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢 生活中的椭圆 一 课题引入 请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部 并将两脚固定 用笔绷紧细绳在纸上移动 观察画出的轨迹是什么曲线 反思 1 在画出一个椭圆的过程中 圆规两脚末端的位置是固定的还是运动的 2 在画椭圆的过程中 绳子的长度变了没有 说明了什么 3 在画椭圆的过程中 绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系 动手实验 椭圆的画法 结合实验以及 圆的定义 思考讨论一下应该如何定义椭圆 它应该包含几个要素 1 在平面内 2 到两定点f1 f2的距离等于定长2a 3 定长2a f1f2 反思 平面内到两定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做焦距 1 椭圆的定义 o x y f1 f2 m 2 椭圆方程的建立 步骤一 建立直角坐标系 设动点坐标 步骤二 找关系式 步骤三 列方程 步骤四 化简方程 步骤五 验证 求曲线方程的步骤 3 方程的推导 以两定点f1 f2的所在直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 如图 设 f1f2 2c c 0 m x y 为椭圆上任意一点 则有f1 c 0 f2 c 0 且m到f1 f2的距离和为2a 由椭圆的定义 可知 mf1 mf2 2a 由两点间的距离公式 可知 即 两边平方得 a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2y2 即 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 因2a 2c 即a c 故a2 c2 0 令a2 c2 b2 其中b 0 代入上式 可得 两边同时除以a2 a2 c2 得 这就是所求椭圆的轨迹方程 它表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是f1 c 0 f2 c 0 这里c2 a2 b2 直接平方 得 思考 化简有没有第二种方法 4 椭圆标准方程分析 我们把方程叫做椭圆的标准方程 它表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是f1 c 0 f2 c 0 这里c2 a2 b2 如果椭圆的焦点在y轴上 焦点是f1 o c f2 0 c 这里c2 a2 b2 方程是怎样呢 由两点间的距离公式 可知 设 f1f2 2c c 0 m x y 为椭圆上任意一点 则有f1 0 c f2 0 c 又由椭圆的定义可得 mf1 mf2 2a 4 椭圆标准方程分析 只须将 1 方程的x y互换即可得到 这个也是椭圆的标准的方程 x y 椭圆的标准方程的再认识 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 3 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 4 由椭圆的标准方程可以求出三个参数a b c的值 2 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一个轴上 例1 填空 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若cd为过左焦点f1的弦 则 f2cd的周长为 例题精析 5 4 3 3 0 3 0 6 0 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 cf1 cf2 2a 2 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若曲线上一点p到左焦点f1的距离为3 则点p到另一个焦点f2的距离等于 则 f1pf2的周长为 2 1 0 1 0 1 2 p pf1 pf2 2a 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程 1 两焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点p到两焦点距离之和等于10 2 两焦点的坐标分别是 2 0 2 0 且椭圆经过点p 1 两焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点p到两焦点距离之和等于10 解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以可设它的方程为 2a 10 2c 8 即a 5 c 4 故b2 a2 c2 52 42 9 所以椭圆的标准方程为 2 两焦点的坐标分别是 2 0 2 0 且椭圆经过点p 解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以可设它的方程为 由椭圆的定义可知 又因c 2 所以椭圆的标准方程为 故b2 a2 c2 10 22 6 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 a 4 b 1 焦点在x轴上 焦点在y轴上 a b 10 课堂练习 1 动点p到两个定点f1 4 0 f2 4 0 的距离之和为8 则p点的轨迹为 a 椭圆b 线段f1f2c 直线f1f2d 不能确定 b 图形 方程 焦点 f c 0 f 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 mf1 mf2 2a 2a 2c 0 定义 注 共