考前导数解答题(教师版).doc

考前导数解答题（教师版）1.（本小题满分15分）已知函数， ，（）（1）求函数的极值；（2）已知，函数， ，判断并证明的单调性；（3）设，试比较与，并加以证明解析：（1），令，得当时，是减函数；当时，是增函数当时，有极小值，无极大值（2）=，由（1）知在上是增函数，当时，即，即在上是增函数（3），由（2）知，在上是增函数，则，令得，2.（本小题满分16分）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.解析：（1）当时，=，其对称轴为直线，当 ，解得，当，无解，所以的的取值范围为（2）因为，法一：当时，适合题意当时，令，则，令，因为，当时，所以在内有零点当时，所以在（内有零点因此，当时，在内至少有一个零点综上可知，函数在内至少有一个零点法二：，由于不同时为零，所以，故结论成立(3)因为=为奇函数，所以, 所以，又在处的切线垂直于直线，所以，即因为所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，如图所示，当时，即，解得；yO1x-1当时， ，解得；当时，显然不成立；当时，即，解得；当时，故所以所求的取值范围是或3. (本小题满分15分)设，两个函数，的图像关于直线对称.（1）求实数满足的关系式；（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；（3）当时，在上解不等式解析：（1）设是函数图像上任一点，则它关于直线对称的点在函数的图像上，.（2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点.设切点为，,当时，函数有且只有一个零点；（3）当=1时，设 ，则，当时，当时，在上是减函数.又0，不等式解集是4(本小题满分16分)已知函数，其中若函数在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行（1）求的值； （2）是否存在直线，使得同时是函数的切线？说明理由 （3）若直线与、的图象分别交于、两点，直线与的图象有两个不同的交点、记以、为顶点的凸四边形面积为，求证： 解析：（1）与坐标轴的交点分别为， 由得，由题意知，即，又，所以 （2）假设存在直线同时是函数的切线，设与分别相切于点（）， 则或表示为，则 ，要说明是否存在，只需说明上述方程组是否有解由得，代入得，即，令，因为，所以方程有解，则方程组有解，故存在直线，使得同时是函数的切线 （3）设，则，设， 即在上单调递增，又，故在上有唯一零点，设为，则，因此， 当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，因此，由于， ，则设，则，令，则， ，故 5（本小题满分12分）设（），曲线在点处的切线方程为（）(1)求、的值；(2)设集合，集合，若，求实数的取值范围解析：(1)，由题设，又切点为在切线上，(2) ，即，设，即，若，在上为增函数，这与题设矛盾；若方程的判别式，当，即时，.在上单调递减，即不等式成立，当时，方程，设两根为， ， ，当,单调递增，与题设矛盾，综上所述，6(本小题满分15分)已知函数（为常数），其图象是曲线（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解析：(1)当时， . 令f (x)0，解得，所以f(x)的单调减区间为 (2) ，由题意知消去，得有唯一解令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，故实数的取值范围是 (3)设，则点处切线方程为与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标 由题意知，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得， 故时，存在常数，使；时，不存在常数，使7(本小题满分14分)已知a为实常数，函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个不同的零点求实数a的取值范围；求证：，且（其中e为自然对数的底数）解析：（I）的定义域为其导数当时，函数在上是增函数；当时，在区间上，；在区间上，所以在是增函数，在是减函数.（II）由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，所以，解得，此时，且，令，则，所以在，上单调递增，所以，即所以的取值范围是，证法一：.设 . .当 时， ；当 时， ；所以在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 .由于 ，且 ，所以 ，所以.下面证明：当时， .设 ，则 .在 上是增函数，所以当时， .即当时， 由得 .所以.所以 ，即，.又 ，所以，.所以 .即.由，得.所以， . 证法二：由（II）可知函数在是增函数，在是减函数.所以.故 第二部分:分析:因为,所以.只要证明:就可以得出结论下面给出证明：构造函数：则：所以函数在区间上为减函数.,则,又于是. 又由(1)可知 .即 8(本小题满分15分)已知函数，.（1）设. 若函数在处的切线过点，求的值； 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；（2）设函数，且，求证：当时，.解析：（1）由题意，得，所以函数在处的切线斜率，又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得. （2）方法一：当，可得，因为，所以，当时，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而. 当时，由，解得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以函数在上有最小值为，令，解得，所以. 综上所述，. 方法二：当， 当时，显然不成立；当且时，令，则，当时，函数单调递减，时，函数单调递减，当时，函数单调递增，又，由题意知. （3）由题意，而等价于，令，则，且，令，则，因，所以， 所以导数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即. 9. (本小题满分12分)已知函数()（1）求函数的极值;（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围解析：（1） 函数的定义域为，令，解得，列表0+单调递减单调递减极小值单调递增由表得函数的单调减区间为，单调减区间为； 所以极小值为，无极大值. （2）当时，对任意，不等式恒成立； 当时，在两边取自然对数，得， 当时，当，不等式恒成立；如果， ，不等式等价于，由(1)得，此时，不等式不恒成立. 当时，则,不等式等价于,由(1)得，此时的最小值为，得.综上：的取值范围是. 10. (本小题满分12分)已知函数和（其中），（1）求的取值范围；（2）方程有几个实根？为什么？解析：（1）， ，即， 当，即时，上式不成立 当，即时，由条件，得到由，解得或由，解得或 m的取值范围是或 （2）有一个实根，即记，则， 0，故有相异两实根易知，x1，x2分别是函数Q（x）的极大值和极小值点， 显然，于是而为三次函数的极小值点，故与x轴只有一个交点 方程只有一个实根11（本小题满分15分）已知函数，（1）当时，求函数的极大值；（2）求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若实数满足：且，求证：解析：函数的定义域为（1）当时，令得 列表：x+0 极大值 所以的极大值为 （2）令，得，记 （）当时，所以单调减区间为； （）当时，由得，若，则，由，得，；由，得所以，的单调减区间为，单调增区间为； 若，由（1）知单调增区间为，单调减区间为； 若，则，由，得；由，得的单调减区间为，单调增区间为综上所述：当时，的单调减区间为； 当时，的单调减区间为，单调增区间为；当时，单调减区间为，单调增区间为 （3）（） 由得， (舍)，或 ，由得， 因为，所以（*）式可化为，即令，则，整理，得，从而，即 记，令得（舍），列表：+ 所以，在单调减，在单调增，又因为，所以，从而 12（本小题满分14分）已知函数，对一切正整数，数列定义如下：，且，前项和为.（1）求函数的单调区间，并求值域；（2）证明；（3）对一切正整数，证明： ；.解析：（1）定义域R，函数的单调增区间为，单调减区间为 法一：，当时， ，时，为减函数，；当时， ；函数的值域为法二：当时，,当时，,函数的值域为法三：判别式法（略）（2）设,设，则，则，. 当时， 恒成立当且仅当时，令，当且仅当时，当时，由（）, 当时，无解时， ，当时，在无解综上，除外，方程无解， （3） 显然, 又,， 所以， 若，则 矛盾.所以 法一： 法二：， 13（本小题满分16分）设函数f (x)(x + 1) lnxa (x1)在xe处的切线与y轴相交于点(0，2e)（1）求a的值；（2）函数f (x)能否在x1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由（3）当1 x 1时，g(