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函数的最大值与最小值 高三数学选修 第三章导数与微分 函数的最大值与最小值 o x y y f x a b x1 x2 x3 极小值f x1 极大值f x2 极小值f x3 最大值f b 最小值f x3 1 函数最值的概念 定义 可导函数在闭区间 a b 上所有点处的函数值中最大 或最小 值 叫做函数的最大 或最小 值 一般地 在闭区间上连续的函数在 a b 上必有最大值与最小值 若改为 a b 举例说明 函数在 0 内连续 2 求可导函数在 a b 上最值的方法 例1 求函数在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 有 解得 当x变化时 y的变化情况如下表 从上表可看出 最大值是13 最小值是4 2 求可导函数在 a b 上最值的方法 例1 求函数在区间 2 2 上的最大值与最小值 图象 解题回顾 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内 可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的 一个是最大值 最小的一个是最小值 对应练习 求下列函在所给的区间上的最大值与最小值 1 y x x3x 0 2 2 y x3 x2 xx 2 1 解题回顾 在求函数f x 在 a b 最值过程中 判断极值比较麻烦 可改求可导函数在 a b 内导数为0点函数值 再把这些值与函数在端点的值比较即可 几何画板 例2 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起如下图 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 解题回顾 1 求最大 小 值应用问题的一般方法 分析 联系 抽象 转化 数学方法 数学结果 实际结果 回答问题 实际问题 建立数学模型 列数学关系式 解决应用性问题的关键是读题 懂题 建立数学关系式 2 在实际问题中 有时会遇到在区间内只有一个点使导数为0的情形 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点的值比较 也可以知道这就是最大 小 值 这时所说的也适用于开区间或无穷区间 对应练习 圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底面径应样选取时 才能使所用的材料最省 解 设圆柱的高为h 底半径为r 则表面积s 2 rh 2 r2由v r2h 得h 则s r 2 r 2 r2 2 r2令s r 4 r 0解得 r 从而h 2即h 2r因为只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐的高与底直径相等时 所用材料最省 反馈练习 1 函数在 3 4 上的最小值为 a 64b 51c 56d 612 函数在上的最大值为 a 2 2b 4c d 53 函数在时的最大 最小值分别是 4 教材p139练习1 2 课后完成 d b 课堂小结 1 利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定 2 若连续函数在闭区间上只有一个导数为0的点 且在这一点有极值 则该极值就是函数在上的最值 3 导数应
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