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文档简介

定积分背景 面积和路程问题 我们学过正方形 长方形 三角形和梯形等平面 直边图形 的面积 物理中 我们知道匀速直线运动的时间 速度与路程的关系等等 在数学和物理中 我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 曲边图形 的面积 变速直线运到物体位移 变力做功的问题 如何解决这些问题呢 现有知识无法解决 为此我们需要另寻方法 接下来我们要学习的定积分 就可以帮助我们解决这些问题 引入 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的 这样的平面图形称为曲边梯形 如何求这个面积呢 我们曾经用正多边形逼近圆的方法 即 以直带曲 的思想 求出了圆的面积 能否也能用直边形 如矩形 来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢 a b 曲边梯形定义 分析 1 曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形 2 曲边梯形与 直边图形 主要区别在于前者有一边是曲线段而 直边图形 的所有边都是直线段 对曲边梯形概念的理解 曲边梯形定义 我们把由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的图形叫作曲边梯形 返回 将区间 0 1 平均分成许多小区间 把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形 对每个小曲边梯形 以直代曲 即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积 得到每个小曲边梯形的面积 对这些近似值求和 就得到曲边梯形面积的近似值 可以想象 区间拆分的越细 近似程度就越好 亦即 用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形的面积 可通过以下几个步骤具体实施 1 分割 2 近似代替 过剩和不足估计值 3 逼近 问题1图中阴影部分由抛物线 直线及x轴围成的平面图形 试估计这个曲边梯形的面积s 分析 分析 概括 前面 我们通过 以直代曲 的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题 它们的步骤 分割区间 过剩估计值不足估计值 逼近所求面积 所分区间长度 0 估计值 所求值 试估计由 y 0 x 2所围成的曲边梯形的面积 动手做一做 曲边梯形的定义 分割区间 过剩估计值不足估计值 逼近所求面积 求曲边梯形面积的步骤 我们把由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的图形叫作曲边梯形 小结 结束 将区间 0 1 平均分成5份 如图所示 图 1 中 所有小矩形面积之和显然大于所求曲边梯形的面积 我们称为s的过剩估计值 则有 图 2 中 所有小矩形面积之和显然小于所求曲边梯形的面积 我们称为s的不足估计值 则有 我们可以用或近似表示s 但是都存在误差 二者之差为 但是无论是用还是来表示曲边梯形的面积 误差都不会超过0 2 如图 3 所示 不足估计值为 二者的差值为 此时 无论用还是来表示s 误差都不超过0 1 区间分的越细 误差越小 当所分隔的区间长度趋于0 过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯
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