四川省高三数学极限导数课件导数3.6函数的单调性.ppt

函数的单调性 函数y f x 在给定区间g上 当x1 x2 g且x1 x2时 函数单调性判定 单调函数的图象特征 1 都有f x1 f x2 则f x 在g上是增函数 2 都有f x1 f x2 则f x 在g上是减函数 若f x 在g上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在g上具有严格的单调性 g称为单调区间 g a b 一 复习与引入 1 函数的单调性也叫函数的增减性 2 函数的单调性是对某个区间而言的 它是个局部概念 这个区间是定义域的子集 3 单调区间 针对自变量x而言的 若函数在此区间上是增函数 则为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数 则为单调递减区间 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设x1 x2的前提下 比较f x1 f x2 与的大小 在函数y f x 比较复杂的情况下 比较f x1 与f x2 的大小并不很容易 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 二 新课 我们已经知道 曲线y f x 的切线的斜率就是函数y f x 的导数 从函数y x2 4x 3的图像可以看到 在区间 2 内 切线的斜率为正 函数y f x 的值随着x的增大而增大 即 0时 函数y f x 在区间 2 内为增函数 在区间 2 内 切线的斜率为负 函数y f x 的值随着x的增大而减小 即 0时 函数y f x 在区间 2 内为减函数 f x 0 f x 0 定义 一般地 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的减函数 由上我们可得以下的结论 如果在某个区间内恒有 则为常数 例1 确定函数f x x2 2x 4在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 由2x 2 0 解得x 1 因此 当时 f x 是增函数 令2x 2 0 解得x 1 因此 当时 f x 是减函数 例2 讨论f x x3 6x2 9x 3的单调性 解 f x 3x2 12x 9 令3x2 12x 9 0 解得x 3或x 1 因此 当或时 f x 是增函数 令3x2 12x 9 0 解得1 x 3 因此 当时 f x 是减函数 故f x 在 1 和 3 内是增函数 在 1 3 内是减函数 而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的 利用导数讨论函数单调的步骤 1 求导数 2 解不等式 0得f x 的单调递增区间 解不等式 0得f x 的单调递减区间 练习1 求函数y 2x3 3x2 12x 1的单调区间 答案 递增区间是和 递减区间是 2 1 三 综合应用 例1 确定下列函数的单调区间 1 f x x 2 sinx 解 1 函数的定义域是r 令 解得 令 解得 因此 f x 的递增区间是 递减区间是 解 函数的定义域是 1 2 f x x 2 ln 1 x 1 由即得x1 注意到函数的定义域是 1 故f x 的递增区间是 1 由解得 1 x 1 故f x 的递减区间是 1 1 说明 函数的单调区间必定是它的定义域的子区间 故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域 在求出使导数的值为正或负的x的范围时 要与定义域求两者的交集 3 解 函数的定义域是 0 a 且当x 0 a时 有 由及解得0 x 3a 4 故f x 的递增区间是 0 3a 4 由及解得3a 4 x a 故f x 的递减区间是 3a 4 a 说明 事实上在判断单调区间时 如果出现个别点使得导数为零 不影响包含该点的某个区间上的单调性 只有在某个区间内恒有导数为零 才能判定f x 在这一区间内是常数函数 练习1 确定函数的单调区间 解 令注意到故f x 的递增区间是 0 100 同理由得x 100 故f x 的递减区间是 100 说明 1 由于f x 在x 0处连续 所以递增区间可以扩大到 0 100 或 0 100 2 虽然在x 100处导数为零 但在写单调区间时 都可以把100包含在内 例2 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 解 若a 0 对一切实数恒成立 此时f x 只有一个单调区间 矛盾 若a 0 此时f x 也只有一个单调区间 矛盾 若a 0 则 易知此时f x 恰有三个单调区间 故a 0 其单调区间是 单调递增区间 单调递减区间 和 例3 当x 1时 证明不等式 证 设显然f x 在 1 上连续 且f 1 0 显然 当x 1时 故f x 是 1 上的增函数 所以当x 1时 f x f 1 0 即当x 1时 说明 利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一种重要方法 其解题步骤是 令f x f x g x x a 其中f a f a g a 0 从而将要证明的不等式 当x a时 f x g x 转化为证明 当x a时 f x f a 练习2 已知求证 类1 求函数的值域 解 函数的定义域是 2 又易得 当x 2时 即已知函数在 2 上是增函数 又f 2 1 故所求函数的值域是 1 类2 证明方程只有一个根x 0 证 设则 0恒成立 故f x 是r上的增函数 而f 0 0 故原方程有唯一根x 0 四 小结 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于零的点外 还要注意在定义域内的不连续点和不可导点 3 注意在某一区间内 0只是函数f x 在该区间上为增 减 函数的充分不必要条件 4 利用求导的方法可以证明不等式 首先要根据题意构造函数 再判断所设函数的单调性 利用单调性的定义 证明要证的不等式 当函数的单调区间与函数的定义域相同时 我们也可用求导的方法求函数的值