高中数学 函数y=Asin（）的图象及三角函数模型的简单应用课件 新人教A版.ppt

要点梳理1 用五点法画y asin x 一个周期内的简图时 要找五个特征点 如下表所示 0 基础知识自主学习 函数y asin x 的图象及三角函数模型的简单应用 2 函数y sinx的图象经变换得到y asin x 的图象的步骤如下 各点的纵坐标变为原来的a倍 各点的纵坐标变为原来的a倍 以上两种方法的区别 方法一先平移再伸缩 方法二先伸缩再平移 特别注意方法二中的平移量 3 当函数y asin x a 0 0 x 0 表示一个振动时 a叫做 叫做 叫做 x 叫做 叫做 4 三角函数的图象和性质 振幅 周期 相位 初相 频率 5 三角函数模型的应用 1 根据图象建立解析式或根据解析式作出图象 2 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 3 利用收集到的数据作出散点图 并根据散点图进行函数拟合 从而得到函数模型 基础自测1 2009 湖南理 3 将函数y sinx的图象向左平移 0 2 个单位后 得到函数的图象 则 等于 a b c d 解析将函数y sinx的图象向左平移 0 2 个单位得到函数y sin x 在a b c d四项中 只有 d 2 为了得到函数x r的图象 只需把函数y 2sinx x r的图象上所有的点 a 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 b 向右平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 c 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 d 向右平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 解析将y 2sinx的图象向左平移个单位得到y 2sin的图象 将y 2sin图象上各点横坐标变为原来的3倍 纵坐标不变 则得到的图象 故选c 答案c 3 已知函数f x asinx bcosx a b为常数 a 0 x r 在处取得最小值 则函数 a 偶函数且它的图象关于点 0 对称 b 偶函数且它的图象关于点对称 c 奇函数且它的图象关于点对称 d 奇函数且它的图象关于点 0 对称 解析据题意 当时 函数取得最小值 由三角函数的图象与性质可知其图象必关于直线对称 故必有故原函数f x asinx acosx 答案d 0 4 将函数y sin4x的图象向左平移个单位 得到y sin 4x 的图象 则 等于 a b c d 解析将函数y sin4x的图象向左平移个单位后得到的图象的解析式为 c 5 2008 浙江理 5 在同一平面直角坐标系中 函数的图象和直线的交点个数是 a 0b 1c 2d 4解析函数图象如图所示 直线与该图象有两个交点 c 题型一作y asin x 的图象已知函数 1 求它的振幅 周期 初相 2 用 五点法 作出它在一个周期内的图象 3 说明的图象可由y sinx的图象经过怎样的变换而得到 1 由振幅 周期 初相的定义即可解决 2 五点法作图 关键是找出与x相对应的五个点 3 只要看清由谁变换得到谁即可 题型分类深度剖析 解 1 的振幅a 2 周期 x x 方法一把y sinx的图象上所有的点向左平移个单位 得到的图象 再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到的图象 最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 即可得到的图象 方法二将y sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到y sin2x的图象 再将y sin2x的图象向左平移个单位 得到的图象 再将的图象上每一点的横坐标保持不变 纵坐标伸长为原来的2倍 得到的图象 1 作三角函数图象的基本方法就是五点法 此法注意在作出一个周期上的简图后 应向两端伸展一下 以示整个定义域上的图象 2 变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移 对于后者可利用来确定平移单位 知能迁移1已知函数 1 用五点法作出函数的图象 2 说明此图象是由y sinx的图象经过怎么样的变化得到的 3 求此函数的振幅 周期和初相 4 求此函数图象的对称轴方程 对称中心 解 1 列表 描点 连线 如图所示 2 方法一 先平移 后伸缩 先把y sinx的图象上所有点向右平移个单位 得到的图象 再把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 得到的图象 最后将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍 横坐标不变 就得到的图象 方法二 先伸缩 后平移 先把y sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 得到的图象 再把图象上所有的点向右平移个单位 得到的图象 最后将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍 横坐标不变 就得到的图象 题型二求函数y asin x b的解析式如图所示为y asin x 的图象的一段 求其解析式 首先确定a 若以n为五点法作图中的第一个零点 由于此时曲线是先下降后上升 类似于y sinx的图象 所以a0 而可由相位来确定 解方法一以n为第一个零点 方法二由图象知a 1 已知函数图象求函数y asin x a 0 0 的解析式时 常用的解题方法是待定系数法 由图中的最大值或最小值确定a 由周期确定 由适合解析式的点的坐标来确定 但由图象求得的y asin x a 0 0 的解析式一般不惟一 只有限定 的取值范围 才能得出惟一解 否则 的值不确定 解析式也就不惟一 2 将若干个点代入函数式 可以求得相关待定系数a 这里需要注意的是 要认清选择的点属于 五点 中的哪一个位置点 并能正确代入式中 依据五点列表法原理 点的序号与式子的关系是 第一点 即图象上升时与x轴的交点 为 x 0 第二点 即图象曲线的最高点 为 第三点 即图象下降时与x轴的交点 为 x 第四点 即图象曲线的最低点 为 第五点 为 x 2 知能迁移2 2009 辽宁理 8 已知函数f x acos x 的图象如图所示 则f 0 a b c d 解析由题意可知 答案c 题型三函数y asin x 的图象与性质的综合应用 12分 在已知函数f x asin x x r 其中a 0 0 0 的图象与x轴的交点中 相邻两个交点之间的距离为且图象上一个最低点为 1 求f x 的解析式 2 当时 求f x 的值域 易知t a 2 利用点m在曲线上可求 第 2 问由函数图象易解 关键是将 x 看成一个整体 解 1分 3分 5分 6分 解题示范 认识并理解三角函数的图象与性质是解决此题的关键 图象与x轴的两个相邻交点间的距离即为半个周期 在求函数值域时 由定义域转化成 x 的范围 即把 x 看作一个整体 8分 10分 12分 知能迁移3已知向量a cosx sinx b cosx cosx 若f x a b 1 求函数f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 2 求函数f x 在区间上的值域 解 1 f x a b cos2x sinxcosx 方法与技巧1 五点法作函数图象及函数图象变换问题 1 当明确了函数图象基本特征后 描点法 是作函数图象的快捷方式 运用 五点法 作正 余弦型函数图象时 应取好五个特殊点 并注意曲线的凹凸方向 2 在进行三角函数图象变换时 提倡 先平移 后伸缩 但 先伸缩 后平移 也经常出现在题目中 所以也必须熟练掌握 无论是哪种变形 切记每一个变换总是对字母x而言 即图象变换要看 变量 起多大变化 而不是 角 变化多少 思想方法感悟提高 2 由图象确定函数解析式由函数y asin x 的图象确定a 的题型 常常以 五点法 中的第一零点作为突破口 要从图象的升降情况找准第一零点的位置 要善于抓住特殊量和特殊点 3 对称问题函数y asin x 的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心 经过该图象上坐标为 x a 的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴 这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期 或两个相邻平衡点间的距离 失误与防范1 由函数y sinx x r 的图象经过变换得到函数y asin x 的图象 在具体问题中 可先平移变换后伸缩变换 也可以先伸缩变换后平移变换 但要注意 先伸缩 后平移时要把x前面的系数提取出来 2 函数y asin x 的图象和性质是本节考查的重点 也是高考热点 复习时尽可能使用数形结合的思想方法 如求解对称轴 对称中心和单调区间等 3 注意复合形式的三角函数的单调区间的求法 函数y asin x a 0 0 的单调区间的确定 基本思想是把 x 看做一个整体 在单调性应用方面 比较大小是一类常见的题目 依据是同一区间内函数的单调性 一 选择题1 2009 山东文 3 将函数y sin2x的图象向左平移个单位 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式是 a y 2cos2xb y 2sin2xc d y cos2x解析将函数y sin2x的图象向左平移个单位 得到函数即的图象 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式为y 1 cos2x 2cos2x a 定时检测 2 将函数的图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长到原来的2倍 再向右平移个单位 所得到的图象解析式是 a f x sinxb f x cosxc f x sin4xd f x cos4x解析 a 3 若函数y asin x m的最大值为4 最小值为0 最小正周期为 直线是其图象的一条对称轴 则它的解析式是 解析 答案d 4 2009 全国 文 9 若将函数y tan x 0 的图象向右平移个单位长度后 与函数y tan x 的图象重合 则 的最小值为 a b c d 解析 d 5 电流强度i 安 随时间t 秒 变化的函数i asin t a 0 0 0 的图象如下图所示 则当秒时 电流强度是 a 5安b 5安c 安d 10安 解析 答案a 6 2009 天津理 7 已知函数f x sin x x r 0 的最小正周期为 为了得到函数g x cos x的图象 只要将y f x 的图象 a 向左平移个单位长度b 向右平移个单位长度c 向左平移个单位长度d 向右平移个单位长度 解析 答案a 二 填空题7 2009 江苏 4 函数y asin x a 为常数 a 0 0 在闭区间 0 上的图象如图所示 则 解析由函数y asin x 的图象可知 3 8 2008 全国 改编 若动直线x a与函数f x sinx和g x cosx的图象分别交于m n两点 则 mn 的最大值为 解析设x a与f x sinx的交点为m a y1 x a与g x cosx的交点为n a y2 则 mn y1 y2 sina cosa 9 若函数f x 2sin x 0 在上单调递增 则 的最大值为 解析 三 解答题10 已知函数f x asin x b 0 的图象的一部分如图所示 1 求f x 的表达式 2 试写出f x 的对称轴方程 解 1 由图象可知 函数的最大值m 3 11 函数y asin x a 0 0 的一段图象如图所示 1 求函数y f x 的解析式 2 将函