高中数学方程的根与函数的零点人教版必修一.ppt

方 程 的 根 与 函 数 的 零 点 高中数学新课标 人教版 必修1课件 本节要解决的问题 1 什么是方程的根 什么是函数的零点 2 方程f x 0与其对应的函数y f x 的零点有何关系 3 函数y f x 在区间内存在零点的判断方法 2 求下列函数与x轴的交点坐标 1 y x 1 2 y x 1 3 y x2 2x 3 1 求下列方程的根 1 x 1 0 2 x 1 0 3 x2 2x 3 0 你能发现函数与x轴的交点坐标 方程的根有什么关系吗 我们可以发现 1 函数与x轴的交点横坐标是相应方程的根 方程的根就是相应函数与x轴的交点的横坐标 2 函数y f x 与x轴有几个交点 对应的方程f x 0就有几个根 方程f x 0就有几个根 对应的函数y f x 与x轴有几个交点 方程f x 0的根 函数y f x 与x轴交点的横坐标 零点的定义 对于函数y x 1来说 当x 1时 函数的值就等于零 我们就把 1叫做函数y x 1的零点 同样的 对于函数y x 1来说 当x 1时 函数的值也对于零 所以1就是函数y x 1的零点 对于函数y f x 使得f x 0的实数x就叫做函数y f x 的零点 所以不难得出 函数y f x 的有零点 方程f x 0有实数根 函数y f x 与x轴有交点 1 求下列函数的零点 1 f x x2 3x 4 2 f x lg x2 4x 4 1 4 1 5 2 函数f x x x2 16 的零点为 a 0 0 4 0 b 0 4c 4 0 0 0 4 0 d 4 0 4 d 注意 函数的零点不是一个点 而是一个实数 是一个让函数值为零的实数 如何判断函数是否存在零点 你有些什么方法 怎样判断函数f x lnx 2x 6是否有零点 有几个零点 函数零点存在性的探究 观察二次函数f x x2 2x 3的图象 在区间 2 1 上有零点 f 2 f 1 f 2 f 1 0 在区间 2 4 上有零点 f 2 f 4 f 2 f 4 0 在怎样的条件下 函数y f x 在区间 a b 上存在零点 1 4 5 3 3 7 在怎样的条件下 函数y f x 在区间 a b 上存在零点 观察函数的图象并填空 在区间 a b 上 有 无 零点在区间 a b 上f a f b 0 在区间 b c 上 有 无 零点 在区间 b c 上f b f c 0 在区间 c d 上 有 无 零点 在区间 c d 上f c f d 0 有 有 有 函数零点存在性的探究 函数零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 定理成立的前提两个条件 1 函数y f x 在区间 a b 的图像是连续不断的 2 f a f b 0 如右图 函数y f x 图像在 a b 上是不连续的 且f a f b 0函数在 a b 还一定存在零点吗 x y o 如图 函数y f x 的图像在 a b 是连续的 且f a f b 0 函数y f x 就一定存在零点 但零点个数并不是只有一个 特殊时 当函数f x 在 a b 是单调函数 且f a f b 0时 那么函数有且只有一个零点 由表3 1和图3 1 3可知 f 2 0 即f 2 f 3 0 说明这个函数在区间 2 3 内有零点 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 解 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表 表3 1 和图象 图3 1 3 4 1 3069 1 0986 3 3863 5 6094 7 7918 9 9459 12 0794 14 1972 例题1求函数f x lnx 2x 6的零点个数 课堂练习 利用函数图象判断下列方程有没有根 有几个根 1 x2 3x 5 0 2 2x x 2 3 3 x2 4x 4 4 5x2 2x 3x2 5 2 1 解 作出函数的图象 如下 因为f 1 1 0 f 1 5 2 875 0 所以f x x3 3x 5在区间 1 1 5 上有零点 又因为f x 是 上的减函数 所以在区间 1 1 5 上有且只有一个零点 2 1 f x x3 3x 5 利用函数的图象 指出下列函数零点所在的大致区间 2 2 解 作出函数的图象 如下 因为f 3 30 所以f x 2x ln x 2 3在区间 3 4 上有零点 又因为f x 2x ln x 2 3是 2 上的增函数 所以在区间 3 4 上有且只有一个零点 2 2 f x 2x ln x 2 3 利用函数的图象 指出下列函数零点所在的大致区间 2 3 解 作出函数的图象 如下 因为f 0 3 630 所以f x ex 1 4x 4在区间 0 1 上有零点 又因为f x ex 1 4x 4是 上的增函数 所以在区间 0 1 上有且只有一个零点 2 3 f x ex 1 4x 4 利用函数的图象 指出下列函数零点所在的大致区间 那么函数在区间 1 6 上的零点至少有 个a 5个b 4个c 3个d 2个2 函数f x x3 3x 5的零点所在的大致区间为 a 2 0 b 1 2 c 0 1 d 0 0 5 c b 1 已知函数f x 的图象是连续不断的 有如下对应值表 零点存在性定理的应用 2 4 解 作出函数的图象 如下 因为f 4 40 f 2 20 所以f x 3 x 2 x 3 x 4 x在区间 4 3 3 2 2 3 上各有一个零点 2 4 f x 3 x 2 x 3 x