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抛物线及其标准方程 一 抛物线及其标准方程 一 3 实际生活中如探照灯的轴截面 桥梁的拱形 喷泉的纵截面都是抛物线 我们在哪些地方见过或研究过抛物线 1 初中时我们学过二次函数 它的图象是抛物线 2 物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分 如投篮时篮球的运动轨迹 知识回顾 赵州桥 美丽的喷泉 椭圆 双曲线的第二定义 平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 当0 e 1时 是椭圆 当e 1时 是双曲线 l 当e 1时 它又是什么曲线呢 抛物线的画法 数学这门学科不仅需要观察 还需要实验 欧拉语 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 1 抛物线的定义 f m l n 几何关系式 代数关系式 求曲线方程的基本步骤是怎样的 2 抛物线的标准方程 l 设一个定点f到一条定直线l的距离为常数p p 0 如何建立直角坐标系 求出抛物线的方程呢 2 1 抛物线的标准方程的推导 k y o f m n x 解法一 以l为y轴 过点 且垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系 则点 p 设动点 x y 由抛物线定义得 解法二 以定点 为原点 过点 且垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系 y k f m n x 设动点 x y 由抛物线定义得 则点 0 l的方程为x p l 设动点 x y 由抛物线定义得 y k f m n o x l 解法三 取过点 且垂直于l的直线为x轴 x轴与l交于 以线段 的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 2 2 抛物线的标准方程 对 标准 的理解 一般地 我们把顶点在原点 焦点f在坐标轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程 但是 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 y y2 2px p 0 2 3 抛物线标准方程的其他形式 向右 向左 向上 向下 例1 1 已知抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的方程是 求它的焦点坐标和准线方程 3 已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 求它的标准方程 例题讲解 解 1 因为焦点在x轴的正半轴上 p 3 所以焦点坐标是 准线方程是 2 因为抛物线的标准方程 焦点在y轴的正半轴上 所以焦点坐标是 准线方程是是 3 因为焦点在y轴的负半轴上 并且 p 4 所以所求抛物线的标准方程是 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 y 2x2 3 2y2 5x 0 4 x2 y 0 注意 求抛物线的焦点坐标一定要先把抛物线的方程化为标准形式 练习 练习 2 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是f 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y 小结与作业 作业 课本p119 3 4 6 1 抛物线的定
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