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文档简介

三垂线定理及其应用 1 正射影的定义 自一点p向平面引垂线 垂足为o 则o为p在此平面上的正射影 简称射影 2 垂线段 点到射影之间的线段 3 斜线 一条直线和平面相交但不垂直 斜足 斜线与平面的交点 斜线段 从平面外一点向平面引斜线 这点与斜足间的线段 4 图形的射影 图形f上的所有点在一平面内的射影构成了图形f1 则f1叫作f在平面内的射影 斜线的射影 过斜线上一点 斜足以外 向平面作垂线 过垂足和斜足的直线 斜线上任意一点的射影一定在该斜线的射影上 5 常用结论 1 垂线段比任何一条斜线段都短 2 过同一点的斜线段中 射影相等 则斜线段长相等 射影较长 则斜线段也较长 反之也成立 6 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和此平面内的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 例1 在正方体ac1中 求证 b1d垂直于面a1bc1 逆定理 平面内的一条直线 如果它和这个平面内的一条斜线垂直 则它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直 例2 长方体ac1中 p q r分别为棱aa1 bb1 bc上的点 pq ab d1qr 90 求证 c1q pr 例4 如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等 那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 例5 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线 设它和已知角两边的夹角为锐角且相等 则斜线在平面内的射影是这个角的平分线 例6 常用结论 1 若pa pb pc两两垂直 则p在 abc所在平面上的射影为 abc的 2 若pa bc pb ac pc ab 则p在 abc所在平面上的射影为 abc的 3 若pa pb pc 则p在 abc所在平面上的射影为 abc的 4 若p到 abc三边的距离相等 则p在 abc所在平面上的射影为 abc的 例12 已知ab是圆o的直径 pa 圆o c为圆周上一点 ab 5 ac 2 求b到平面pac的距离 练习 矩形abcd和矩形cdef有一条公共边cd e f在平面ac上的射影分别为d c ab 4 ad 6 cf 3 求 1 ab到ef的距离 2 b到de的距离 3 a到平面bcf的距离 4 ef到平面ac的距离 例15 已知梯形abcd的一底边ab在平面m内 另一底边在平面m外且和m相距5cm 已知ab dc 7 3 求这个梯形的两条对角线的交点o到平面m的距离 例11 已知abcd为正方形
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