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函数单调性判断与应用 函数的单调性可以从多个方面来理解 且每一种理解都有其相应价值 具体如下 一 图象角度 数形结合判断单调性 在区间 上 x 的图象上升 或下降 x 是区间 上的增函数 减函数 例1 已知a b x 满足 x x 在区间 b a 上单调递减 且 x 那么 x 在区间 a b 上 单调递减 且 x 单调递增 且 x 单调递减 且 x 单调递增 且 x c 二 定义角度 严格论证 若f x g x 为增函数 则有 f x g x 为增函数 f x g x 为增函数 f x 0 g x 0 f x 为减函数 三 函数运算角度 参照已知函数判断单调性 例3 判断下列函数的单调性 f x 在 0 上单调减 y x 0 在 0 上单调增 规律 当两个函数的单调性相同时 其复合函数是增函数 当两个函数的单调性不相同时 其复合函数是减函数 四 函数复合角度 参照复合函数单调表判断单调性 同增异减 小结 注意单调区间是定义域的某个区间 函数单调性的判断方法 一般方法 解析式观察法 图象观察法 定义验证法 特殊方法 函数的运算 复合函数同增异减 例5设函数y x 在 0 2 上是增函数 函数图像关于x 2对称 则 1 的大小关系是 五 应用角度一 正面 比较函数值大小 注意 解这类题应利用函数的单调性作图 根据题目中的变量大小关系 寻找其对应函数值大小的规律即可 练习 1 若f x 在r上是减函数 试比较f 2 与f a2 2a 4 的大小 2 若f x 在r上是减函数 试比较f a2 与f 2a 的大小 六 应用角度二 反面 比较自变量大小 例6f x 满足f x f x 且在 0 为增函数 求f 2x 1 f 1 3 的解集 1 a b 上f x 是增函数 左最小右最大 值域y f a f b 2 a b 上f x 是减函数 左最大右最小 值域y f b f a 七 应用角度三 正面 求连续函数的值域 例7 求下列函数的值域 1 y x2 6x 3 x 1 2 2 y x2 2x 2 x 1 4 例8已知 x 是定义在 上的减函数 满足f x f x 若 求实数 的取值范围 注意 抽象函数的不等式一般利用单调性将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系 从而实现不等式的等价转化 八 应用角度四 反面 解不等式 求x范围 函数f x 的定义域为 0 且满足下列性质 1 f 2 1 2 f x 是增函数 3 f x f y f xy 解不等式f x f x 3 2 课外思考 单调性反映了函数 x 在区间上函数值的变化趋势 是函数在区间上的局部性质 掌握函数的单调性时应注意 函数的单调性只能在函数的定义域内讨论 定义中 x1 x2的任意性非常重要 绝不能忽略 因为在本质上 就是把比较区间上无限个函数值的大小转化为比较两个任意函数值的大小
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