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函数的单调性 y x2 从图象可以看到 图象在y轴的右侧部分是上升的 也就是说 当x在区间 0 上取值时 随着x的增大 相应的y值也增大 即如果取x1 x2 0 得到y1 f x1 y2 f x2 那么当x1 x2时有y1 y2 这时我们就说函数y x2在 0 上是增函数 图象在y轴的左侧部分是下降的 也就是说 当x在区间 0 上取值时 随着x的增大 相应的y值反而随着减小 即如果取x1 x2 0 得到y1 f x1 y2 f x2 那么当x1y2 这时我们就说函数y x2在 0 上是减函数 x1 x2 y1 y2 x2 x1 y2 y1 y x3 如果对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 x1 x2 y f x f x1 f x2 如果对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 y f x f x1 f x2 x1 x2 如果函数y f x 在某个区间是增函数或是减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 这一区间中做y f x 的单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 例1 下图是定义在闭区间 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一个单调区间上 y f x 是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 y f x 例2 证明函数f x 3x 2在r上是增函数 证明 设x1 x2是r上的任意两个实数 且x1 x2 则f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 由x1 x2 得x1 x2 0 于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以 f x 3x 2在r上是增函数 证明函数单调性的步骤 1 设x1 x2属于给定区间 2 作差f x1 f x2 并判断符号 3 根据函数的单调性定义肯定此命题成立 例3 证明函数 在上是减函数 小结 1 有关单调性的定义 2 关于单调区间的概念 3 判断函数单调性的常用方法 定义法 练习 1 如图 已知函数y f x y g x 的图象 包括端点 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 函数是增
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