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等差数列 第一课时 问题 观察下面的数列并思考这些数列有什么共同特点 分析 对于数列 1 从第二项起每一项与前一项的差都等于 对于数列 2 从第二项起每一项与前一项的差都等于2 对于数列 3 从第二项起每一项与前一项的差都等于500 总结 这些数列从第二项起 每一项与前一项的差都等于同一个常数 一 等差数列的定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 如果等差数列的首项是 公差是 那么根据等差数列的定义可以得到以下结论 数列为等差数列 例1 判断下面数列是否为等差数列 2 不是 因为从第2项起后项与前项的差是 1 2 3 4 5 是常数 但不是同一常数 3 是 因为从第2项起后项与前项的差都是0 符合等差数列的定义 二 等差数列的通项公式 如果等差数列的首项是 公差是 那么根据等差数列的定义有 将左边的n 1个式子迭加可得 故 等差数列的通项公式是 当n 1时 上式两边都等于a1 n n 公式成立 即这个等差数列的首项是 2 公差是3 例2 在等差数列中 已知求首项与公差d 解 由题意可知 解得 注 等差数列的通项公式an a1 n 1 d中 an a1 n d这四个变量 知道其中三个量就可以求余下的一个量 知三求一 三 等差中项 如果a a b成等差数列 那么a叫做a与b的等差中项 由等差中项的定义可知 a a b满足关系 意义 任意两个数都有等差中项 并且这个等差中项是唯一的 当a b时 a a b 例3 已知数列的通项公式为 其中p q 是常数 且 那么这个数列是否一定是等差数列 如果是 其首项与公差是什么 分析 由等差数列的定义 要判断是不是等差数列 只要看是不是一个与n无关的常数就行了 解 取数列中的任意相邻两项与 这是一个与n无关的常数 所以是等差数列 公差是p 在通项公式中令n 1 得 所以这个等差数列的首项是p q 公差是p 注 等差数列的通项公式可以表示为 其中p q是常数 当时 它是关于n的一次式 因此从图像上看 表示这个数列的各点均在一次函数的图像上 其坐标为 1 等差数列的概念 必须从第2项起后项减去前项 并且差是同一常数 四 小结 2 等差数列的通项公式an a1 n 1 d知道其中
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