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1 2 1三角函数的定义 一 1 初中学过的锐角三角函数的定义 在直角三角形abc中 角c是直角 角a为锐角 则用角a的对边bc 邻边ac和斜边ab之间的比值来定义角a的三角函数 2 用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数 以坐标原点为角 的顶点 以ox轴的非负半轴为角 的始边 则角 的终边落在直角坐标系的第一象限内 若点p x y 是角 终边上的任意一点 点p到原点o的距离是r 试将角 的三角函数用x y r的式子表示出来 2 如果把p点在 角终边上移动 那么 x y r是否随之改变 这三个比值是否也随之改变 为什么 3 任意角的三角函数 1 确立任意角 在直角坐标系中的位置 以坐标原点为角 的顶点 以ox轴的非负半轴为角 的始边 2 在其终边上取点a 使oa 1 点a的坐标为 l m 再任取一点p x y 设点p到原点的距离为r op r r 0 根据三角形的相似知识得 因为a p在同一象限内 所以它们的坐标符号相同 因此得 不论点p在终边上的位置如何 它们都是定值 它们只依赖于 的大小 与点p在 终边上的位置无关 即当点p在 的终边上的位置变化时 这三个比值始终等于定值 叫做角 的正弦 记作sin 即sin 叫做角 的正切 记作tan 即tan 叫做角 的余弦 记作cos 即cos 1 对于正弦函数sin 因为r 0 所以恒有意义 即 取任意实数 恒有意义 也就是说sin 恒有意义 所以正弦函数的定义域是r 2 类似地可写出余弦函数的定义域是r 对于正切函数tan 因为x 0时 无意义 又当且仅当 的终边落在y轴上时 才有x 0 所以当 的终边落不在y轴上时 恒有意义 即tan 恒有意义 所以正切函数的定义域是 k k z 从而三角函数的定义域是y sin ry cos r y tan k k z 从而三角函数的定义域是y sin ry cos r y tan k k z 比值叫做 的余切记作 比值叫做 的正割记作 比值叫做 的余割记作 例1如图所示 已知角 终边上一点p的坐标为 4 3 求角 的三角函数值 p 4 3 解 4 3 5 的终边 变式练习 1 已知角 的终边上一个点p的坐标为 4t 3t t 0 求 的正弦 余弦和正切值 解 由已知有x 4t y 3t op r 5 t 变2 已知角 的终边与函数的图象重合 求 的三角函数值 1 若点p 3 y 是角 终边上一点 且sin 则y的值是 2 已知角 的终边上一点p x 2 x 0 且cos 求sin 和tan 的值 补充练习 3 设 为第四象限角 其终边上的一个点是p x 且cos 求sin 和tan 能力 思维 方法 解题分析 解决与三角函数的值有关的问题 定义是最基本的方法 此题关键是确定x的值 则cos 解得x 3 r 8 故sin tan 四 总结提炼 任意角三角函数的定义及其定义域 任意角三角函数实质上是
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