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文档简介
1 5 3定积分的概念 问题提出 1 求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程 都可以通过 四步曲 解决 这四个步骤是什么 其中哪个步骤是难点 分割 近似代替 求和 取极限 2 求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程是两类不同的问题 但它们有共同的解决途径 我们可以此为基点 构建一个新的数学理论 使得这些问题归结为某个数学问题来解决 并应用于更多的研究领域 定积分的概念 探究 一 定积分的有关概念与表示 思考1 对于由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的曲边梯形的面积s 可以归结为一个什么形式的和的极限 思考2 对于做变速直线运动的物体 若速度函数为v v t 则物体在a t b时段内行驶的路程s 可以归结为一个什么形式的和的极限 思考3 一般地 如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 x2 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi i 1 2 n 上任取一点作和式 那么当n 时 sn的极限是否一定存在 一定存在 思考4 数学上 把叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即其中a与b分别叫做积分下限与积分上限 区间 a b 叫做积分区间 函数f x 叫做被积函数 x叫做积分变量 f x dx叫做被积式 那么定积分 分别等于什么 被积函数 积分上 下限 思考5 定积分的值由哪些要素所确定 探究 二 定积分的几何意义与性质 表示由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的曲边梯形的面积 思考1 如果函数f x 在区间 a b 上连续 且f x 0 那么定积分的几何意义是什么 思考2 下列两图中阴影部分的面积用定积分分别怎样表示 思考3 根据定积分的定义或几何意义 你认为 k为常数 其中a c b 分别等于什么 1 2 3 思考4 定积分的值等于多少 它有什么实际意义 它表示半径为r的圆的面积 理论迁移 例1利用定积分定义 计算 例2计算 例2计算 小结作业 1 定积分是一个特定形式和的极限 其几何意义是曲边梯形的面积 定积分的值由被积函数 积分上限和下限所确定 2 在实际问题中 定积分可以表示面积 体积 路程 功等等 求定积分的值目前有定义法和几何法两种
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