高中不等式习题精选精解.doc

高中不等式习题精选精解一、求取值范围1、已知，求的取值范围。解： 根据已知条件： 所以的取值范围是2、已知，且，求的取值范围。解：由已知条件，显然 综上所述的取值范围是3、正数满足，求的最小值。解： （为正数）4、设实数满足，当时，求的取值范围。y解：方程表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线（为常数）与圆在第二象限相切时，取到最小值；（此时，切点的坐标满足，其它圆上的点都满足（因为在直线的上方），当增大，直线向下方平移，圆上的全部点满足，因此：x所以的取值范围是5、已知函数满足，求的取值范围。解：由习已知得： 设： 所以的取值范围是6、已知：、都是正数，且，求的最小值解：是正数，的最小值是5，（当且仅当时）。o1 4X1 x2xy7、已知集合与，若，求的取值范围。解： 设（*） 当，即方程（*）无解，显然成立，由得 ，解得 当，且成立，即： 根据图像得出： ，解得 综合（1）（2）两式，得的取值范围为。8、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。oyxoyx解一：设，原题转换为求方程在上有解。 共有两种情况，一种是有两个根，一种是只有一个根（如图所示），由二次函数的图像和性质，得方程在上有实数解的充要条件为： 注：两组不等式分别对应两个图解得所以的取值范围是解二：由方程得 函数的值域就是的取值范围。 所以的取值范围是二、解不等式1、解：不等式与或同解，也可以这样理解： 符号“”是由符号“”“=”合成的，故不等式可转化为 或。 解得：原不等式的解集为2、.解：+，用根轴法（零点分段法）画图如下：+-1123原不等式的解集为。3、解：原式等价于 ，即 注：此为关键原不等式等价于不等式组解得：4、解：当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得； 当时，原不等式化为，得 综合上面各式，得原不等式的解集为：5、关于的不等式的解集为，求的解集。解：由题意得：，且 则不等式与不等式组同解 得所求解集为6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。解：关于的不等式的解集是，或 原不等式的解集是。三、证明题1、已知，求证：证一： ，证毕。证二： ，证毕。2、设,为偶数,证明 证： . 当时, ,0 , 0 ,故 ; 当有一个负值时,不妨设,且,即 . 为偶数时,0 ,且0 ,故 . 综合可知,原不等式成立 注：必须要考虑到已知条件，分类讨论，否则不能直接得出0 3、求证： 证：设向量 ,由 ,得 注意：当时，即，、方向相同，取等号。当利用公式证明时，会得： 的错误结论，因为这里取等号 的条件是，且、方向相反，根据题设条件，时，方向相同，故取不到等号， 计算的结果也使不等式范围缩小了。4、求证： （）证一：（） 原不等式成立，证毕。证二：当时，原不等式为：，显然成立； 假设当取-1时，原不等式成立，即成立，则 ，即取时原不等式也成立。 综上，对于任意（）原不等式成立，证毕。 注意：此类证明方法称为数学归纳法 5、设，实数满足，求证：证：=当，当，当，综合式情况，原不等式成立。证毕注：式的最后一步省略了对的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用 同号 异号6、已知：，求证：证：由已知得：，即 ，及基本不等式，代入式得： 解得； ，由式得，