数学命题_推理与论证.pdf

12 卷 3 期 龙岩师专学报 199 4 年 9 月 数学命题 推理与论证 林尚垣 在中学教学教材教法 这 门课程里 作为中学数学的逻辑基础 数学命题 推理与论证是十分重 要的内容 大多数的教学过程接触的都是一些具体的命题 具体的推理和证明过 程 而对 于数学命 题 推理与论证本身的逻辑思维基础则关心较少 本文就教学过程中 学生常受困惑的一些问题进 行阐述 一 关于命题真假问题 数学命题的真假 正 确与否 是数学教学最为关心的问题之一 中学数学逻辑上只涉及二值逻辑 一 个结论要 么真 要么假 如果是简单命题 即不再包含其他任何子命题的命题 那么命题的真假性 是由事实验证或由某一公理系统中的前此定义 定理或公理来判断的 比如 4 比 1 大 和气 比 4 大 分别就是真 假的两个简单命题 雪 是白的 这 类与事实相符的判断被认为是正确的判断 因而 是真命题 但是两个或两个以上的简单命题用逻辑联结词构成的复 合命题 逻辑上就只以逻辑真假 相论了 比如说 若 2 是奇数 则 7 是偶数 是逻 辑真的命题 设P q 是命题则蕴含式命题P 是 复合命题 只论其逻辑真假 值得注意的是 中学数学所论命题很大一部分是假言命题 对这些假 言命题 我 们视前提 命题 为真 所以 当且仅当结论 也是命题 为真 时 整个命题才是真 正确 对于一个假的 错误的 具体的假言命题 往往是靠举几个反例来证明其假性 这种做法的科学性看 起来是那么的显 然 但是 如 果追 问 既然不能靠举几个例子来证明一个命题的正确性 为什么允许 用几个例子来证实一个命题是错的呢 逻辑依据是什么 首先 我们要知道 一个具体的假言命题 事实上是与全称量词联 系在一 起的 对 顶角相等 是 大家熟知的假言命题 若两个角相 等 则必 是 对顶角 是 假的假言命题 其实这后 一命题是说 对于 一切 给定的 相等的 两个角 必 然是对顶 角 虽 然我们可以找出许多对 确实相等且又是对顶角的两个角 但也可以找到两个虽相等而不对 顶 的角 所以该命题错就错在全称量词 一 切 的使 用上 虽然该命题不出现 一 切 两字 但按汉语的 习惯 这里实际上隐 含 一切 两字 因此 我们举反例证实这类假命题错误 实际 上是举例证实 命 题 不是 对其所有的 一切 外延都是对的 对于命题 p 以 P I来表示 其 真值 当 川 1 时 p是真命题 当 pl一0时 P是假命题 于是 pAq 一m动 Pf 引川PV q 卜1 n a 州 川 引 据此可以用 真值表很方便地判断复合命题的真 假 按这种真值计算方法 对多个命题变量的复合命题判断 尤为方便 比如 对 P I q l t l 0 则易知 P 妇 P q A V tV 二 是真命题 因为我们一 眼便可看出 1 川 类 似地 很 快又可以验证P q 与 q P等价 从 而 知原命题与其逆否命题必同真假 逻辑等价变形 往往可使我们选择出最简洁 明辽的表达方式 如 果有班主任对学生说 明天下 雨 或者全 班 同学劳动 在 逻辑上 这 句话是 清 楚的 但 令人感到十分别扭 如果注 意到PV q 与 79 1 2卷 3期 龙岩师专学报 199 4 年 9 月 二石石石石石石石 石布蔽花二 二声二二书二二二二二二二二石二 石 二 石面石石 二p q 逻辑等价 那么完全可以这样说 如果 明天不下雨 那么全班同学就 参加劳动 两者意思 完全 一样 而后者却明辽得 多 在形如 若 p则 q 的蕴含式命题 当中 说 q 是 P成立的必要条件 学生往往感到难以理解 但 是 只要认识到P 叮 与 q P 逻辑等价 则 q 是P成立的必要 条件就很好理解了 还有 在 用语言叙述的命题中 常见若干个条件蕴含某个结论的命题 条件之间常用逗号 隔开 若用命题变 量表达式 则是形 如P AP Z 八九一q 的蕴 含式命题 我们如何判断P P P 的全 部或部份对于 q 成 立来说是充分的或必要的条件呢 如果P A P Z 八九 q 为真 则称p p Z P 3 均为真是 q 成立 的充分条件 若能证 p AP AP a 为真 则可知P PZ P3 均为真是 q 成立 的必要条件 也可以通 过证 明二 P 八P Z AP P为真 也即通过 p p p 3 中至少有一个比如P 不成立时 必然导致 不真来判断三个命题P PZ p 均 为真是 q 成立的必要 条件 现在进一步间 假如保留p Z P 不变 如何回答P 八P AP 3 q 中 P 是 否为 q 成立的必要 条件 当然可以通过证 P 或 P 一q来证实P 是 成立的必要条件 但不 能通过举几个 当p 不成立 而保持p Z 与P 3 不变 时 会导致 q 不成立 的例 子去证明P 是 q 成立的 必要 条件 不能指望举几个例子去证隐命题二P 二q为真 不过我 们可以通过举几个 使 P 不 满足 保留其它条件不变 而能有 q 成立 的例子 表明P 不 是 q 成立的必要条件 这 是 因为有例子 表明不要P 成立也可以有 q 成立 可见p 对 成立来说不 是必要的 如罗尔定理 二 关于推理 推理可分为合情推理与论证推理 见G波利 亚著 数学与猜想 通过观察 归纳 类比 联想 分析与综合 由一系列前提推出结论 这些结论有 或 许真 的性 质 这 就是合情推理 不少的数学 结 论 其发现是猜想出来的 就是论证推理思路 也往往离不开猜想 猜想也离不开合情推理 因此 培 养学生的合情推理能力对培养学生的分析问题 解决间题的能力 培养学生的创造能力无疑是很重 要的 不过 作为教学科目的中学数学 讨论最多的还 是论证推理 因为培养学生逻辑思维能力是数 学教学要培养的学生三大能 力之一 本节侧重阐述论证推理 如果不是讨论某个具体命题的 因果关系 而是一般地 研究论证推理 以下简称推理 其特征是 形式化 前提和结论是形式化 逻辑关系是形式化 任何推理都有一个相应的蕴含式命题 如果推 理形式相应的蕴含式命题是永真命题 则称该推理形式正确或说推理符合逻辑 也可以说该推理构 成一个推理规则 下面是数学推理中常用的推理规则 我们用蕴含 式命题形式表示 1 V x P x y P 夕 这相应的推理规则称为全称量词消去律 也有的 叫逻辑公理 是常用的 三 段论 论 证公理 2 P Ag P P Ag 这是联合推理的消去律 3 户 A一P g 这是选言推理规则 4 P AP 这是 假言推理的肯定律 5 P一t l A二q 一P 这 是假言推理的否定律 1 2卷 3 期龙岩师专学报1 994 年 9 月 6 P q A 叮 r P r 这是推理的传递律 是使正确推理得以一环扣一环进行下去的根据 7 P r A g r PV叮 r 8 p pvq 这是选言推理的引入律 据此 因为 a a 为真 所以 a a 正确 9 PA r P g r 这是假言推理的引入律 这个推理规则可以让我们把命题叙述得更简洁一些 比如 命题 1 设 a b 都是整数 如果 a 和b互素 则存在整数 和d使a c十b d l 命题 2 设 a b 都是整数 如果存在整数 和d使 a c l d 1 则 a 和b互素 有 了推理规则 9 那么 PA r A PA 户 叮 P r A r q 也是推理规则 所以可以把命题 1和命题2 合并叙述为 命题 3 设 a 和 b 都是整数 那么 a 和 b 互素当且仅当存在整数 和d使得 a bd 1 下面我们来探讨解题 中的推理问题 先看如下例子的错解 已知关于 x 的方程 尹 二一2 x 5一二一 两根都大于2 求实数m的范围 解 设方程两根为 x x 判别式为 则由 了l e s l e s s e L n日卜肠 f x l 2 一 可得 L 异O 椒一2 4 仇 4 一4 5一m 0 仇 一2 椒 l 1 n 4 或 二 一4 所以实数二的范围为 二镇一4 解法错 范围扩大 在推理 2 式是 l 式成立的必要 条件 所以满足 l 式的实数1 n必满足 2 反之不然 换句话说 即使 2 式以后各步 的因 果关系互为充要条件 也可能使满足 条件的 m 的范围扩大 这题错解启示我们 在求满足一组条件的参数的取值范围时 前一组条件与后一组条 件必须步步保持等价 一般地 若后一组条件对前一组条件而言是必要而非充分的 要注意所求数 集范围扩大 若后一组条件是前一组条件的充分而非必要条件 则所求数集范围可能缩小 常可看 到中学生的这类作业 自始至终没有 一个逻辑联结词或箭头图 简单地认为能解出来就成了 这是不 好的 解题过程 一定要注意推理 三 数学证明 数学证明与推理既不同又联系密切 首先是目的任务不同 推理是由一组命题出发 按一定的 逻辑规 则寻求结论得到新命题的思维形式 证 明是由若干真实命题出发 寻求一 系列真命题作为论 据逻辑地判断欲证的结论为真的思维形式 从结构上看 推理除前提和结论 中间由若干个命题联 系着 数学证明由论题 论据和论证过程构成 从真实性看 推理的前提和结论都未必正确 推理重 在形式规则 证明过程要求前提必须真实 推理要符合逻辑 所以说数学证明过程是逻辑推理过程 逻辑推理过程未必是数学证明 数学证明和推理都是逻辑思维过程 所以都必须遵循思维规律 作 为 思维过 程的数学证明 首先必须遵守思维的同一律 因此数学证明必须要求论题始终如 一 证明 过程所涉及的概念和命题的内涵 不容偷换 由于证明就是寻求使结论成立的一系列 论据 所以推出 结论的论据必须真实而充足 而且从论据到结论的推理要遵守推理规则 未得到证明之前 论题的 8l 12 卷 3 期 龙岩师专学报 199 4 年 9 月 真实性尚未可知 自然要求不能用论题本身作为证据 就是 说数学证明要遵守上述 算作五条 证明 规则 如果经 过一番 证 明 发现 论题的结论 不能成立 这样的证明是无效的 如果论证推理过 程隐 藏着虚假论据 那么谁也不会认为其证明有效 所以 怎样的证明才算有效 的确值得探究 对假言命题而言 前提条件被视之为真 所以当且仅当结论为真 才能称此假言命题为真 若假 言命题 论题 结论为假 唯以举出反例才算有效地证明 了论题是假命题 对于真命题 如练习中的 定理 或猜测为真的命题 只有正确按照推理规则 寻找到充足而真实的论据得 出论题 中的结论 当 然不能违反其 它证明规则 证明才算有效 仔细说来是 如 果我们把数学证明假言命题的推理 归结为一个蕴含式命题 P AP A AP g 其中 q 是论题的结论 P P Z 户 二 是包含 了 中间推理 过程的一系列前提和论据 假如在推理 过程 中都遵守 了推理规则 根据假言推理肯定律 当P P Z P 全为真时 q 必定为真 这样的证 明才是有效的 参考文献 1 赵振成等 中学数学教材教法 第一分册 华东师大出版补 199 0 年第一版 2 G 波利亚 数 学与猜忽 中译本 朴学出版 社 1 98 4 年第一版 3 编 写组 逻样代数与电于计葬机简介 高等教育出版社 198 4 年 9 月版 上接 第8 7 页 解 方程左边为 P Z一扩 3y 1 x 2犷一矛一y 之 Zy十z 一 3 1 2一4 2少 一2 2 一少z 2少 z 一少 2 42 2 12 4少z一2少一42 令 t y t 22 t3 1 卿I 二 t r t互 Zt t 一Zt lr 一2t 2t3 在E 一2 t lt3 tZt3 中 共有2 2 3