2017_18学年高中数学第三章3.3导数在研究函数中的应用学案.docx

3.3导数在研究函数中的应用33.1单 调 性已知函数y1x，y2x2，y3.问题1：试作出上述三个函数的图像提示：图像为问题2：试根据上述图像说明函数的单调性提示：函数y1x在R上为增函数，y2x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，y3在(，0)，(0，)上为减函数问题3：判断它们导函数的正负提示：y110；y22x，当x0时，y20，当x0时，y20，y30时，f(x)为增函数，当f(x)0，所以yex在R上为增函数，yex的导函数yex0(f(x)0)是函数在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件，若出现个别点的导数为零，不影响函数在该区间上的单调性如f(x)x3，f(0)0，而f(x)x3在R上是增函数判断或证明函数的单调性例1求证函数f(x)sin xtan x在内为增函数思路点拨先利用求导法则求出导数f(x)，再证明f(x)在内恒正，得出结论精解详析函数f(x)sin xtan x在内恒有意义，且f(x)(sin x)(tan x)cos xcos x.又x，00，yf(x)在内为增函数一点通用导数判断函数yf(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的步骤：(1)求出yf(x)的导数f(x)；(2)证明导数yf(x)在区间(a，b)内恒正(恒负)；(3)下结论yf(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)1已知函数yf(x)，x0,2的导函数yf(x)的图像如图所示，则yf(x)的单调增区间为_解析：根据f(x)0，函数f(x)单调递增，f(x)0，故yf(x)的单调增区间为(0，)答案：(0，)2讨论下列函数的单调性：(1)f(x)x3ax；(2)f(x)axax(a0且a1)解：(1)f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，函数f(x)单调递增当a0时，f(x)3(x)(x)易知当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增当x时，f(x)1时，ln a0，axax0，f(x)0，函数f(x)在(，)上是增函数当0a1时，ln a0，f(x)0)思路点拨先确定定义域，再求导数f(x)令f(x)0或f(x)0，则4x(x1)(x1)0，解得1x1，函数f(x)的单调递增区间为(1,0)和(1，)，令f(x)0，则4x(x1)(x1)0.解得x1或0x0，则(x)(x)0.解之得x或x.函数的单调递增区间为(，)和(，)令f(x)0，则(x)(x)0，解得x0得x2x20，解得x2，又x0，所以函数f(x)的单调递增区间为(2，)答案：(2，)4已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0，所以当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，所以只能有f(x)0恒成立，法一：由上述讨论可知412m0，故m，经检验，当m时，只有个别点使f(x)0，符合题意，所以实数m的取值范围是m.法二：由上述讨论可知3x22xm0恒成立，即m3x22x恒成立设g(x)3x22x32，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m的取值范围是m.答案：1当函数f(x)的单调性相同的区间不止一个时，不能用“”连接，要用“，”分开或用“和”连接2利用分离参数法求解恒成立问题，要对等号单独验证对应课时跟踪训练(十九) 1函数yx2ln x的单调递减区间为_解析：yx，令y0，x0，0x1，函数yx2ln x的单调减区间是(0,1答案：(0,12函数f(x)的单调递减区间是_解析：令f(x)0，解得0xe，又因为函数f(x)的定义域为(0,1)(1，)，所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，(1，e)答案：(0,1)，(1，e)3(浙江高考改编)已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是_解析：由函数f(x)的导函数yf(x)的图像自左至右是先增后减，可知函数yf(x)图像的切线的斜率自左至右先增大后减小答案：4若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是_解析：h(x)2，由h(x)在(1，)上是增函数，知h(x)0在(1，)上恒成立h(x)，当k0时，显然h(x)0成立当k2，即k2，k2，2kxf(x)则不等式x2ff(x)0的解集为_解析：令(x)，则(x)0.(x)在(0，)上单调递减，又x2ff(x)，xf.即，x.又x0，0x1.答案：(0,1)6已知函数f(x)x3x2ax.讨论f(x)的单调性解：f(x)x22xa(x1)2a1.当a1时，f(x)0，当且仅当a1，x1时，f(x)0，所以f(x)是R上的增函数当a0，f(x)是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)是增函数7已知函数f(x)2ax，x(0,1若f(x)在(0,1上是增函数，求实数a的取值范围解：由已知得f(x)2a，f(x)在(0,1上单调递增，f(x)0，即a在x(0,1上恒成立令g(x)，而g(x)在(0,1上单调递增，g(x)maxg(1)1，a1.当a1时，f(x)2.对x(0,1也有f(x)0.a1时，f(x)在(0,1上为增函数综上，f(x)在(0,1上为增函数，实数a的取值范围是1，)8已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调区间解：(1)由函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，知f(1)，且12f(1)50，即f(1)2，2，又f(x)，所以.由得a2，b3.(因为b10, 所以b1舍去)所以所求函数解析式是f(x).(2)由(1)可得f(x).令2x212x60，解得x132，x232，则当x32时，f(x)0，当32x0，所以f(x)的单调递增区间是(32，32)；单调递减区间是(，32)和(32，)33.2极大值与极小值函数yf(x)的图像如图所示：问题1：函数yf(x)在a，b，c，d，e，f等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？提示：以a，b两点为例，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，而在点xb的函数值f(b)比它在xb附近其他点的函数值都大同理，在c，d，e，f处的函数值比它在该点附近其他点的函数值都大或都小问题2：yf(x)在这些点的导数值是多少？提示：导数值为0.问题3：在这些点附近yf(x)的导数的符号有何规律？提示：在这些点的左右两侧导数符号相反1极大值与极小值的定义设函数yf(x)在xx0及其附近有定义，若f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值；若f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值极大值和极小值统称为极值2极大值与导数的关系xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)增极大值f(x0)减3极小值与导数的关系xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)减极小值f(x0)增1函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况2由函数极值的定义知，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值3若函数在某区间内有极值，则函数在该区间内不单调求函数的极值例1求函数yx44x35的极值思路点拨先求f(x) 和使f(x)0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值精解详析y4x312x24x2(x3)令y4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，y， y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)y00y不是极值极小值22故当x3时函数取得极小值，且y极小值f(3)22.一点通求函数yf(x)的极值的方法：(1)求导数f(x)；(2)令f(x)0，求出使f(x)0的各个值x0；(3)检验x0左右两侧导函数的符号，如果在x0的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值；如果在x0左右两侧导数符号相同，那么f(x0)不是极值(4)求出极大(小)值1求函数y3x3x1的极值解：y9x21，令y0，得x1，x2.当x变化时，y，y的变化情况如下表：xy00y极大值极小值因此，当x时，y有极大值，且y极大值；当x时，y有极小值，且y极小值.2设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)aln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.已知函数极值求参数例2已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，求常数a、b的值思路点拨由于函数f(x)在x1处有极值10，可得f(1)0且f(1)10，由此列出方程组求a，b的值，但还要检验求出的a，b的值是否满足函数取得极值的条件精解详析f(x)3x22axb，依题意得即解得或但由于当a3，b3时，f(x)3x26x30，故f(x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值，所以不符合题意，舍去；而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，11.一点通根据函数极值情况，逆向应用确定参数值时应注意：用待定系数法，列方程或方程组求解；由于导数值为零不是该点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性3已知f(x)x3ax2bxc，f(x)在点x0处取得极值，则实数b的值为_解析：由于f(x)3x22axb，f(x)在点x0处取得极值，所以f(0)0，解得b0.答案：04已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc，如果函数f(x)在x1处取得极值，求b，c的值解：f(x)x22bxc，由f(x)在x1处取得极值，可得解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)，当3x0，当x1时，f(x)0，故当x1时，f(x)有极大值.所以b1，c3即为所求.函数极值的综合应用例3已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图像(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？思路点拨(1)利用求函数极值的方法，直接求解，然后由单调性和极值画出图像；(2)将方程根的问题转化为函数图像与x轴交点的问题精解详析(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以函数f(x)的极小值为f(1)a2；极大值为f(1)a2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图像，如图所示这里，极大值a2大于极小值a2.(2)结合图像知，当极大值a20或极值a20时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰有两个实数根，所以a2.一点通极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化以及函数与方程的思想，分类讨论的思想在解题中的应用在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键5若函数f(x)x3ax22bxc，当x(0,1)时函数取得极大值，当x(1,2)时函数取得极小值，试求的取值范围解：由已知得f(x)x2ax2b，由于当x(0,1)时函数取得极大值，当x(1,2)时函数取得极小值，所以方程f(x)0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，即函数yf(x)的图像如图所示所以有即在平面直角坐标系中画出该不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，其中A(3,1)，B(2,0)，C(1,0)，设P(a，b)为可行域内一点，D(1,2)，则的几何意义为直线PD的斜率，由图可知kADkPDkCD，故0，x取足够小的负数时有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点，结合f(x)的单调性可知，当f(x)的极大值a0，即a(1，)时，它的极大值也大于0，因此曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，它在上所以当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点1对于可导函数，导数为零的点不一定是极值点，极值点的导数一定为零即在某点的导数为零是该点为极值点的必要不充分条件2函数的极值是一个局部概念，极大值和极小值大小关系不确定对应课时跟踪训练(二十) 1关于函数的极值，有下列说法：导数为零的点一定是函数的极值点，函数的极小值一定小于它的极大值，f(x)在定义域内最多只能有一个极大值或一个极小值，若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数其中错误的是_(把你认为错误的序号都写出来)解析：由导数与极值的关系及极值定义可知：错误，正确答案：2已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在区间(a，b)上的图像如图所示，则函数yf(x)在(a，b)上极大值点的个数为_解析：极大值点在导函数f(x0)0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图像知有3个答案：33函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a，b的值分别为a_，b_.解析：f(x)3ax2b，又当x1时有极值2，f(1)3ab0，ab2.联立，解得答案：1，34(福建高考改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是_xR，f(x)f(x0)；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点解析：不妨取函数f(x)x3x，则x为f(x)的极大值点，但f(3)f，排除；取函数f(x)(x1)2，则x1是f(x)的极大值点，但1不是f(x)的极小值点，排除；f(x)(x1)2，1不是f(x)的极小值点，排除，f(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，由函数图像的对称性可得x0应为函数f(x)的极小值点，填.答案：5已知函数f(x)x3x22xm的图像不经过第四象限，则实数m的取值范围是_解析：f(x)x2x2(x2)(x1)，令f(x)0，得x1，f(x)在(，2)，(1，)上为增函数，在(2,1)上为减函数若不经过第四象限，则f(1)0，得2m0，m.答案：m6求函数f(x)x312x的极值解：函数f(x)的定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值f(2)16极小值f(2)16从表中可以看出，当x2时，函数有极大值，且f(2)(2)312(2)16.当x2时，函数有极小值，且f(2)2312216.7已知x4是函数f(x)aln xx212x11的一个极值点(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)f(x)2x12.x4是函数f(x)的一个极值点，f(4)24120，a16.(2)由(1)知f(x)16ln xx212x11(x0)，f(x)2x12，由0，得x4，又x0，当x(0,2)或x(4，)时，f(x)单调递增由0得2x4.当x(2,4)时，f(x)单调递减故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(4，)，单调递减区间是(2,4)8设函数f(x)x4ax32x2b，a，bR.(1)当a时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x0处有极值，试求a的取值范围解：(1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)，当a时，f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)，令f(x)0，得x10，x2，x32，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，0)02(2，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值所以f(x)在(0，)和(2，)上是增函数，在区间(，0)和(，2)上是减函数(2)f(x)x(4x23ax4)，显然x0不是方程4x23ax40的根f(x)仅在x0处有极值，方程4x23ax40有两个相等的实根或无实根，9a24160，解得a，这时，f(0)b是唯一极值，因此满足条件的a的取值范围是.33.3最大值与最小值假设函数yf(x)、yg(x)、yh(x)在闭区间a，b内的图像都是一条连续不断的曲线(如下图所示)问题1：这三个函数在a，b上一定能取得最大值与最小值吗？提示：能问题2：若yh(x)在开区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么它在(a，b)上一定有最值和极值吗？提示：没有最值，也没有极值问题3：函数的极值是否一定是函数的最值？提示：不一定1最大值和最小值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值2求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值可以分两步第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值1函数的最值是一个整体性的概念是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较2函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有例如：常数函数既没有极大值也没有极小值求函数的最值例1求函数f(x)4x33x236x5在区间2,2上的最大值与最小值思路点拨先求f(x)，令f(x)0求得极值及端点值，最后比较大小得最值精解详析法一：f(x)12x26x366(2x2x6)，令f(x)0，解得x12，x2.又f(2)57，f，f(2)23，函数的最大值为57，最小值为.法二：f(x)12x26x366(2x2x6)，令f(x)0，则x12，x2.x22f(x)0f(x)5723当x2时，f(x)有最大值为57，当x时，f(x)有最小值为.一点通求解函数在闭区间上的最值，必须注意以下几点：(1)对函数进行正确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和函数端点值；(3)比较极值与端点值的大小，确定最值1求函数f(x)x32x21在区间1,2上的最值解：f(x)3x24x，令f(x)0，则x10，x2.当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下：x1(1,0)02f(x)00f(x)211由上表可知f(x)的最大值为1，最小值为2.2已知函数f(x)x2x4，求函数的最值解：f(x)2x2x3，解方程2x2x30，得x0或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)极大值极小值极大值根据上表，结合函数的单调性和极值，画出函数的大致图像如图所示根据图像可知函数有最大值，且f(x)最大值f(1)f(1)，没有最小值.求含参数的函数的最值例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值思路点拨解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在区间0,2上的最大值精解详析(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在，2上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max一点通求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点和端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可最后再将讨论的情况进行合并整理3设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点解：(1)f(x)3x23a，因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)，当a0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值点当a0时，令f(x)0，得x1，x2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化状态如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)f()f()因此，函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为(，)，此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点4设a0，函数f(x).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)在区间a,2a上的最小值解：(1)函数的定义域是(0，)，又f(x)a，当a0时，由f(x)a0，得0xe；由f(x)ae.故函数在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减(2)当2ae，即a时，由(1)知，函数在a,2a上单调递增，f(x)minf(a)ln a；当ae时，由(1)知，函数在a,2a上单调递减，f(x)minf(2a)ln(2a)；当ae时，需比较f(a)与f(2a)的大小，由于f(a)f(2a)ln aln (2a)(ln aln 2)，当a2时，f(a)f(2a)，此时f(x)minf(a)ln a；当2af(2a)，此时f(x)minf(2a)ln(2a)综上所述：f(x)min函数最值的应用例3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm，对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围思路点拨(1)可通过配方求函数f(x)的最小值；(2)h(t)h(t)2t恒成立，从而可转化为求h(t)2t的最大值问题精解详析(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取得最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)2tt33t1.则g(t)3t233(t1)(t1)令g(t)0，得t11，t21(舍去)列表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值1由表可知，g(t)在(0,2)内有最大值1.h(t)g(t)在(0,2)内恒成立m1.即实数m的取值范围是(1，)一点通有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数一般地，f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.5设函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1,2都有f(x)m成立，求实数m的取值范围解：f(x)3x2x2，令f(x)0，得x或x1.当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，yf(x)在和(1，)上为增函数，在上为减函数，f(x)在x处取得极大值，在x1处取得极小值f，f(1)，f(2)7，f(1).f(x)在1,2上的最大值为7.若对于任意x1,2都有f(x)2c恒成立，求c的取值范围解：(1)f(x)3x22axb，根据题意有即解得