2017_18学年高中数学第二章阶段通关训练含解析.docx

第二章 圆锥曲线与方程阶段通关训练(二) (60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知抛物线y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为()A.(1,0)B.116,0C.0,116D.(0,1)【解析】选C.因为过(1,4),所以a=2,标准方程为x2=14y,焦点坐标为.2.已知F1,F2是椭圆x216+y23=1的两个焦点,P为椭圆上一点,则|PF1|PF2|有()A.最大值16B.最小值16C.最大值4D.最小值4【解析】选A.由椭圆的定义知a=4,|PF1|+|PF2|=2a=24=8.由基本不等式知|PF1|PF2|=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,所以|PF1|PF2|有最大值16.3.(2017郑州高二检测)如果点P(2,y0)在以点F为焦点的抛物线y2=4x上,则|PF|=()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.根据抛物线的定义,点P到点F的距离等于点P到其准线x=-1的距离d=|2-(-1)|=3.【补偿训练】若动圆圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)【解析】选B.由抛物线y2=8x,得到准线方程x+2=0,焦点坐标为(2,0),因为动圆圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,所以动圆必经过点(2,0).4.过双曲线x2-y2=8的右焦点F2有一条弦PQ,|PQ|=7,F1是左焦点,那么F1PQ的周长为()A.28B.14-82C.14+82D.82【解析】选C.F1PQ的周长为|QF1|+|PF1|+|PQ|,因为|PF1|-|PF2|=2a=4,|QF1|-|QF2|=2a=4,所以F1PQ的周长为4+4+27=14+8.5.(2017襄阳高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与圆(x-3)2+y2=9相交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为()A.8B.22C.3D.32【解析】选C.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|=2,可知圆心到直线AB的距离为2,于是|3b|a2+b2=2,解得b2=8a2,于是c=3a,所以e=ca=3.【补偿训练】1.(2017龙岩高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线的离心率为()A.2B.2C.3D.3【解析】选B.易知双曲线的渐近线方程为y=bax,因为渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,所以|0卤2a|a2+b2=1,整理得:=3.所以双曲线的离心率为e=ca=2.2.(2017西安高二检测)已知椭圆x2+ky2=3k(k0)的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是.【解析】由题知抛物线的焦点为F(3,0),椭圆的方程为+=1,所以3k-3=9,所以k=4,所以离心率e=323=.答案:【方法技巧】离心率求解策略(1)利用圆锥曲线方程:设法求出圆锥曲线的方程,再依方程求出a,b,c,进而求出离心率.(2)借助题目中的等量关系:充分利用已知条件中等量关系求出a,b,c的等量关系,再对其等量关系进行变形,从而求出a,c的关系.(3)巧用圆锥曲线中的线段关系:圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边形等平面图形,掌握各平面图形自身特点,能快速找到对应的等量关系,如直径所对角为直角.6.设P,Q分别为圆x2+y-62=2和椭圆x210+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.52B.46+2C.7+2D.62【解析】选D.圆心M(0,6),设椭圆上的点为Q(x,y),则=,当y=-23-1,1时,=5.所以=5+=6.二、填空题(每小题5分,共20分)7.椭圆的两个焦点为F1,F2,短轴的一个端点为A,且三角形F1AF2是顶角为120的等腰三角形,则此椭圆的离心率为.【解析】由已知得AF1F2=30,故cos30=ca,从而e=.答案:8.已知双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2pyp0的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且FA=c,则双曲线的渐近线方程为.【解析】由题意知p2=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即,代入双曲线方程为-=1,得=2,所以ba=1,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x【补偿训练】若双曲线的渐近线方程为y=13x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的标准方程是.【解析】由双曲线的渐近线方程为y=13x,知ba=13,它的一个焦点是(,0),知a2+b2=10,因此a=3,b=1,故双曲线的方程是-y2=1.答案:-y2=19.(2017池州高二检测)以下三个关于圆锥曲线的命题中:双曲线x216-y29=1与椭圆x249+y224=1有相同的焦点;在平面内,设A,B为两个定点,P为动点,且|PA|+|PB|=k,其中常数k为正实数,则动点P的轨迹为椭圆;方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.其中真命题的序号为.【解析】正确,双曲线-=1与椭圆有相同的焦点(5,0);不正确,根据椭圆的定义,当k|AB|时是椭圆;正确,方程2x2-5x+2=0的两根为12或2,可分别作为椭圆和双曲线的离心率.答案:10.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ab值为.【解析】联立椭圆方程与直线方程,得ax2+b(1-x)2=1,即(a+b)x2-2bx+b-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2ba+b,则y1+y2=1-x1+1-x2=2-2ba+b=2aa+b,所以AB中点的坐标为,AB中点与原点连线的斜率k=ab=.答案:三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)(2017长沙高二检测)已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4,-4).(1)求抛物线的方程.(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A,B,若|AB|=8,求直线l的方程.【解析】(1)由已知可设所求抛物线的方程为y2=2px(p0),而点M(4,-4)在抛物线上,则(-4)2=8p,所以p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),若直线l垂直于x轴,则A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,与题设不符;若直线l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=k(x-1),再设A(x1,y1),B(x2,y2),由k2x2-2(k2+2)x+k2=0,于是则|AB|=4(1+k2)k2,令4(1+k2)k2=8,解得k=1,从而,所求直线l的方程为y=(x-1).12.(12分)直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若线段AB中点的横坐标等于2,求弦AB的长.【解析】将y=kx-2代入y2=8x中变形整理得:k2x2-(4k+8)x+4=0,由得k-1且k0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得:x1+x2=4k+8k2=4k2=k+2k2-k-2=0.解得:k=2或k=-1(舍去),由弦长公式得:|AB|=2.13.(13分)(2017福州高二检测)设抛物线y2=2px(p0),RtAOB内接于抛物线,O为坐标原点,AOBO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=513,求抛物线方程.【解题指南】根据AOBO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-12,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5及勾股定理求得p.【解析】因为AOBO,直线AO的斜率为2,所以直线BO的斜率为-12,即方程为y=-12x,把直线y=2x代入抛物线方程解得A点坐标为,把直线y=-12x代入抛物线方程解得B点坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以+p2+64p2+16p2=2513,所以p2=4,因为p0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.14.(13分)(2017西安高二检测)已知抛物线C:y2=2px(p0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于55?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解题指南】(1)将点代入易求方程.(2)假设存在,根据条件求出直线,注意验证.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以=4+8t0,解得t-12.由直线OA到l的距离d=,可得|t|5=15,解得t=1.又因为-1,1,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.【补偿训练】(2017泉州高二检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆W:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为233,过点A的直线与椭圆W交于另一点C.(1)求椭圆W的标准方程.(2)当AC的斜率为13时,求线段AC的长.(3)设D是AC的中点,且以AB为直径的圆恰过点D,求直线AC的斜率.【解析】(1)由ca=,设a=3k(k0),则c=k,b2=3k2,所以椭圆W的方程为x29k2+y23k2=1,把x=k代入椭圆方程,解得y=k,于是2k=233,即k=,所以椭圆W的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知A(0,-1),直线AC的方程为y=13x-1.由得2x2-3x=0,解得x=32或x=0(舍),所以点C的坐标为,所以|AC|=.(3)依题意,设直线AC的方程为y=k1x-1,k10.由得(3+1)x2-6k1x=0,解得x=6k13k21+1或x=0(舍),所以点C的横坐标为6k13k12+1,设点D的坐标为(x0,y0),则x0=3k13k12+1,y0=k1x0-1=-13k21+1,因为以AB为直径的圆恰过点D,所以|OD|=1,即+=1.整理得=13,所以k1=.【能力挑战题】(2017全国乙卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1), P3-1,32,P41,32中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程.(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明: l过定点.【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P3,P4,又P4横坐标为1,椭圆必不过P1,所以过P2,P3,P4三点,将P20,1,P3代入椭圆方程得1b2=1,1a2+34b2=1,解得a2=4,