高中数学5.6运用数学归纳法证明不等式自我小测.docx

5.6 运用数学归纳法证明不等式自我小测1设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于_2观察下式：112；23432；3456752；4567891072，则得出结论：_.3用数学归纳法证明时：设f(k)1427k(3k1)k(k1)2，则f(k1)_.4(2010淮南高考调研，理13)若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_5求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)6用数学归纳法证明12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)7设f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于_8已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_9求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)n(n3)(nN，n4)10已知数列an满足条件(n1)an1(n1)(an1)，且a26(nN)(1)求a1、a3、a4的值；(2)求数列an的通项公式11已知点的序列An(xn,0)，nN，其中x10，x2a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，.(1)写出xn与xn1、xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明参考答案1解析：因为f(n)1，所以f(n1)1.所以f(n1)f(n).2n(n1)(n2)(3n2)(2n1)231427(k1)(3k4)(k1)(k2)24f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析：f(k)122232(2k)2.而f(k1)122232(2k)2(2k1)2(2k2)2.f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.5证明：(1)当n1时，左边2，右边212，所以等式成立(2)假设nk(kN，k1)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立那么当nk1时，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(2k1)2k1135(2k1)2(k1)1，即nk1时等式成立由(1)、(2)可知，对任何nN等式均成立6证明：(1)当n1时左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设当nk(kN，k1)时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)，则当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)22(k1)2k(2k1)(2k1)22(k1)22k25k3(k1)(2k3)(k1)2(k1)1，即当nk1时，等式成立由(1)、(2)可知，对任何nN，等式成立解析：当nk1时，左边的项应该增加两项(2k1)2(2k2)2.78(5,7)解析：设每个数对内的两数之和为k，则组成数对的个数为akk1，k2,3，.则由不等式Sk60，得k(k1)120，则k的最大值为11，且S1155，则第56个数对之和为12，即(1,11)，后面的依次为(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，所以第60个数对为(5,7)9证明：(1)当n4时，四棱柱有2个对角面，4(43)2，命题成立(2)假设当nk(kN，k4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有f(k)k(k3)个，现在考虑nk1的情形，第k1条棱Ak1Bk1与其余和它不相邻的k2条棱分别增加了1个对角面，共(k2)个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面的个数变为f(k)(k2)1k(k3)k1(k23k2k2)(k2)(k1)(k1)(k1)3，即f(k1)(k1)(k1)3即当nk1时，等式成立由(1)、(2)可知，命题对n4，nN都成立解析：利用“递推”法，f(k1)f(k)来寻找nk1比nk时增加的对角面的个数10解：(1)(n1)an1(n1)(an1)(nN)，且a26，当n1时，a11；当n2时，a33(a21)15；当n3时，2a44(a31)56，a428.(2)由a2a15，a3a29，a4a313.猜想an1an4n1，ana1(anan1)(an1an2)(a2a1)an2n2n(nN)下面用数学归纳法证明：当n1时，a121211，故猜想正确假设当nk时，有ak2k2k(kN，且k1)(k1)ak1(k1)(ak1)，(k1)ak1(k1)(2k2k1)ak1(k1)(2k1)2(k1)2(k1)即当nk1时，命题也成立由知，an2n2n(nN)11解：(1)当n3时，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2(x2x1)a，a3x4x3x3(x3x2)a.由此推测ann1a(nN)