高中数学第一1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式自主训练新人教选修.docx

1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式自主广场我夯基我达标1.若x0，则4x+的最小值是（ ）A.9 B.C.13 D.不存在思路解析：因为x0,所以4x+=2x+2x+，当且仅当2x=,即x=时等号成立.答案：B2.若实数x,y满足xy0，且x2y=2,则xy+x2的最小值是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4思路解析：xy+x2=2xy+xy+x2=1.答案：A3.已知a,bR+，则(+)(+)_.思路解析：(+)(+)=3+3+=9.答案：94.设a,b,cR+，求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc.证明：左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2) =6abc.a、b、cR+,原式成立.5.如果a,bR+，且ab,求证：a3+b3a2b+ab2.证明：a、bR+,且ab,则a3+b3=(a3+a3+b3)+(a3+b3+b3) (）=a2b+ab2.a3+b3a2b+ab2.6.求函数y=4sin2x-cosx的最值.解：y2=16sin2xsin2xcos2x,=8(sin2xsin2x2cos2x)8()3=8.y2,当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=时取“=”号.y大=,y小=。7.已知：a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少有一个不大于.证明：假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a.则(1-a)b(1-b)c(1-c)a164.又(1-a)b(1-b)c(1-c)a6=()6=,这与矛盾.假设不成立.即原结论正确.8.已知a0,b0,c0,d0,求证：4.证明：=4.当且仅当a=b=c=d时取等号，得证.我综合我发展9.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则此圆柱体积的最大值为_.思路解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,则4r+2h=l,v=r2h()3=()3当且仅当r=h=时取“=”号.答案：10.已知xR+，有不等式x+2,x+3,由此启发我们可以推广为：x+n+1(nN +).则a=_.思路解析：从n=1,n=2,归纳得出：x+n+1.答案：nn11.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”，且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是_.思路解析：a+(b*c)=(a+b)*(a+c),a+(b*c)=a+,又(a+b)*(a+c)=,由，可知a+(b*c)=(a+b)*(a+c).答案：a+(b*c)=(a+b)*(a+c)12.若a,b,cR+，且a+b+c=1,求证：.证明：a、b、cR+且a+b+c=1,2=(a+b)+(b+c)+(c+a).(a+b)+(b+c)+(c+a)()=9.原式得证.13.用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四面分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90，再焊接而成，问小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？解：设正方形的边长为x cm.V=x(60-2x)2=4x(60-2x)(60-2x)()3=16 000.当4x=60-2x即x=10时取等号.小正方形的边长为10 cm时，最大容积为16 000 cm3.14.已知矩形ABCD的两个顶点A、B在函数y=-2(x-1)2+4(0x2)的图象上，另两个顶点C、D在x轴上，求这个矩形面积的最大值.解：设A(x0,y0),且不妨设x01,则矩形ABCD的面积S=|AB|AD|=2(x0-1)y0.y0=-2(x0-1)2+4且1x02,S=-4(x0-1)3