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三角函数的图象和性质 一 三角函数图象的作法 1 几何法 y sinx作图步骤 2 平移三角函数线 3 用光滑的曲线连结各点 1 等分单位圆作出特殊角的三角函数线 2 五点法作函数y asin x 的图象的步骤 3 用光滑的曲线连结 2 中五点 2 求 1 中x对应的y的值 并描出相应五点 3 变换法 函数y asin x k与y sinx图象间的关系 函数y sinx的图象纵坐标不变 横坐标向左 0 或向右 0 平移 个单位得y sin x 的图象 函数y sin x 图象的横坐标不变 纵坐标变为原来的a倍 得到函数y asin x 的图象 函数y asin x 图象的横坐标不变 纵坐标向上 k 0 或向下 k 0 平移 k 个单位得y asin x k的图象 二 三角函数图象的性质 注正切函数的对称中心有两类 一类是图象与x轴的交点 另一类是渐近线与x轴的交点 但无对称轴 这是与正弦 余弦函数的不同之处 三 正 余弦函数的性质 1 定义域 都是r 2 值域 都是 1 1 2 值域是r 在上面定义域上无最大值也无最小值 3 周期性 是周期函数且周期是 它与直线y a的两个相邻交点之间的距离是一个周期 注一般说来 某一周期函数解析式加绝对值或平方 其周期性是 弦减半 切不变 四 正切函数的性质 五 典型例题 提示由s oap s扇形oap s oat得 故有sin tan 例2解不等式 sinx cosx 故该函数的最小正周期是 最小值是 2 故当y取得最大值时 自变量x的集合是 2 将函数y sinx依次进行如下变换 解 f x sin x 0 0 是r上的偶函数 sin x sin x 即 cos sin x cos sin x对任意实数x都成立 0 cos 0 又 0 f x 的图象关于点m对称 f x cos x 点m为f x 图象的一个对称中心 0 解得k 0或1 解得a 1 即0 a 1 0 a 1 而函数y sin2x acos2x的周期为 a 1 课后练习 2 y sinx cosx在f x 的定义域上的单调递增区间是 3 f x 的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 函数f x 是非奇非偶函数 f x 函数f x 是周期函数 它的一个周期是2 2 已知函数f x asin x a 0 0 x r 在一个周期内的图象如图所示 4 如图所示 某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y asin x b的解析式 其中 a 0 0 0 1 求这段时间的最大温差 2 写出这段曲线的函数解析式 解 1 由图示 这段时间的最大温差是 30 10 20 2 图中从6时到14时的图象是函数y asin x b半个周期的图象 解 由cos2x 0得 f x 的定义域关于原点对称 且 f x 是偶函数 若存在这样的常数a b 则
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