高考数学复习 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ppt.ppt

2004年夏季在德国举行的第十八届世界杯足球赛共有32支队伍参加 他们先分成八个小组进行循环赛 决出16强 这16强按确定的程序进行淘汰赛后 最后决出冠亚军 此外还决出了三 四名 问 一共安排了多少场比赛 思考 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号 总共能够编出多少种不同的号码 26 10 36 问题1 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有4班 汽车有2班 轮船有3班 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 分析 从甲地到乙地有3类方法 第一类方法 乘火车 有4种方法 第二类方法 乘汽车 有2种方法 第三类方法 乘轮船 有3种方法 所以从甲地到乙地共有4 2 3 9种方法 一 分类加法计数原理 完成一件事 有两类办法 在第1类办法中有m种不同的方法 在第2类方法中有n种不同的方法 则完成这件事共有 2 首先要根据具体的问题确定一个分类标准 在分类标准下进行分类 然后对每类方法计数 1 各类办法之间相互独立 都能独立的完成这件事 要计算方法种数 只需将各类方法数相加 因此分类计数原理又称加法原理 说明 n m n种不同的方法 n m1 m2 mn种不同的方法 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类方法中有m2种不同的方法 在第n类方法中有mn种不同的方法 则完成这件事共有 解 这名同学在a大学中有5种专业选择 在b大学中有4种专业选择 根据分类计数原理 这名同学可能的专业选择共有5 4 9种 用前6个大写英文字母和1 9九个阿拉伯数字 以a1 a2 b1 b2 的方式给教室里的座位编号 总共能编出多少个不同的号码 思考 分析 由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码 而且它们各个不同 因此共有6 9 54个不同的号码 字母数字得到的号码a 123456789 a1a2a3a4a5a6a7a8a9 树形图 问题2 如图 由a村去b村的道路有3条 由b村去c村的道路有2条 从a村经b村去c村 共有多少种不同的走法 分析 从a村经b村去c村有2步 第一步 由a村去b村有3种方法 第二步 由b村去c村有3种方法 所以从a村经b村去c村共有3 2 6种不同的方法 二 分步计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 则完成这件事共有 2 首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准 然后对每步方法计数 1 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数 又称乘法原理 说明 n m1 m2 mn种不同的方法 例2 设某班有男生30名 女生24名 现要从中选出男 女生各一名代表班级参加比赛 共有多少种不同的选法 例3 浦江县的部分电话号码是05798415 后面每个数字来自0 9这10个数 问可以产生多少个不同的电话号码 变式 若要求最后4个数字不重复 则又有多少种不同的电话号码 05798415 分析 分析 课堂练习 1 在所有的两位数中 个位数字比十位数字大的两位数有多少个 2 8本不同的书 任选3本分给3个同学 每人1本 有多少种不同的分法 3 将4封信投入3个不同的邮筒 有多少种不同的投法 4 已知则方程可表示不同的圆的个数有多少 课堂练习 5 已知二次函数若则可以得到多少个不同的二次函数 其中图象过原点的二次函数有多少个 图象过原点且顶点在第一象限的二次函数又有多少个 联系 区别一 完成一件事情共有n类办法 关键词是 分类 完成一件事情 共分n个步骤 关键词是 分步 区别二 每类办法都能独立完成这件事情 每一步得到的只是中间结果 任何一步都不能能独立完成这件事情 缺少任何一步也不能完成这件事情 只有每个步骤完成了 才能完成这件事情 分类计数原理和分步计数原理 回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别三 各类办法是互斥的 并列的 各步之间是相关联的 分类计数与分步计数原理的区别和联系 如图 从甲地到乙地有2条路 从乙地到丁地有3条路 从甲地到丙地有4条路可以走 从丙地到丁地有2条路 从甲地到丁地共有多少种不同地走法 课堂练习 n1 2 3 6 n2 4 2 8 n n1 n2 14 2 如图 该电路 从a到b共有多少条不同的线路可通电 a b 解 从总体上看由a到b的通电线路可分三类 第一类 m1 3条第二类 m2 1条第三类 m3 2 2 4 条所以 根据分类原理 从a到b共有n 3 1 4 8条不同的线路可通电 在解题有时既要分类又要分步 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育杂志 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同取法 n 4 3 2 9 n 4 3 2 24 1 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法 例4 要从甲 乙 丙3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左右两边墙上的指定位置 问共有多少种不同的挂法 1 分类加法计数原理 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 2 分步乘法计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 完成一件事 共有n类办法 关键词 分类 区别1 完成一件事 共分n个步骤 关键词 分步 区别2 区别3 每类办法都能独立地完成这件事情 它是独立的 一次的 每次得到的是最后结果 只须一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果 任何一步都不能独立完成这件事 缺少任何一步也不能完成这件事 只有各个步骤都完成了 才能完成这件事 各类办法是互斥的 各步之间是互相关联的 即 类类独立 步步关联 练习 五名学生报名参加四项体育比赛 每人限报一项 报名方法的种数为多少 他们争夺这四项比赛的冠军 获得冠军的可能性有多少种 解 1 5名学生中任一名均可报其中的任一项 因此每个学生都有4种报名方法 5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4 4 4 4 4 种 2 每个项目只有一个冠军 每一名学生都可能获得其中的一项获军 因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n 5 种 例5 给程序模块命名 需要用3个字符 其中首个字符要求用字母a g或u z 后两个要求用数字1 9 问最多可以给多少个程序命名 分析 要给一个程序模块命名 可以分三个步骤 第一步 选首字符 第二步 先中间字符 第三步 选末位字符 解 首字符共有7 6 13种不同的选法 答 最多可以给1053个程序命名 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理 最多可以有13 9 9 1053种不同的选法 例6 核糖核酸 rna 分子是在生物细胞中发现的化学成分 一个rna分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链 长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据 总共有 个不同的碱基 分别用a c g u表示 在一个rna分子中 各种碱基能够以任意次序出现 所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关 假设有一类rna分子由100个碱基组成 那么能有多少种不同的rna分子 分析 用100个位置表示由100个碱基组成的长链 每个位置都可以从a c g u中任选一个来占据 解 100个碱基组成的长链共有100个位置 在每个位置中 从a c g u中任选一个来填入 每个位置有4种填充方法 根据分步计数原理 共有 种不同的rna分子 例7 电子元件很容易实现电路的通与断 电位的高与底等两种状态 而这也是最容易控制的两种状态 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法 即二进制 为了使计算机能够识别字符 需要对字符进行编码 每个字符可以用一个或多个字节来表示 其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位 每个字节由 个二进制位构成 问 1 一个字节 8位 最多可以表示多少个不同的字符 2 计算机汉字国标码 gb码 包含了6763个汉字 一个汉字为一个字符 要对这些汉字进行编码 每个汉字至少要用多少个字节表示 如00000000 10000000 11111111 例8 计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试 程序员需要知道到底有多少条执行路 即程序从开始到结束的线 以便知道需要提供多少个测试数据 一般的 一个程序模块又许多子模块组成 它的一个具有许多执行路径的程序模块 问 这个程序模块有多少条执行路径 另外为了减少测试时间 程序员需要设法减少测试次数 你能帮助程序员设计一个测试方式 以减少测试次数吗 分析 整个模块的任意一条路径都分两步完成 第1步是从开始执行到a点 第2步是从a点执行到结束 而第一步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成 第二步可由子模块4或子模块5来完成 因此 分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理 再测试各个模块之间的信息交流是否正常 需要测试的次数为 3 2 6 如果每个子模块都正常工作 并且各个子模块之间的信息交流也正常 那么整个程序模块就正常 这样 测试整个模块的次数就变为172 6 178 次 2 在实际测试中 程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱 即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块 这样 他可以先分别单独测试5个模块 以考察每个子模块的工作是否正常 总共需要的测试次数为 18 45 28 38 43 172 例