高中数学第一章1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案.docx

1.2.2同角三角函数的基本关系1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x；掌握这两个基本关系的推导.2.会用以上两个基本关系进行化简、求值和证明.同角三角函数的基本关系(1)关系式：平方关系：sin2cos2_.商关系：_.(2)文字叙述：同一个角的正弦、余弦的_等于1，商等于角的_.(1)对同角三角函数的基本关系的理解应注意两个方面：一是“角相同”，如与，4与4，5与5都是同一个角，要有一个整体思想；二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立.(2)根据问题的需要，应注意用同角三角函数基本关系式的变形和逆用.比如基本关系式有如下的变形形式：sin21cos2，cos21sin2，1sin2cos2；sin tan cos ，cos ；12sin cos (sin cos )2.【做一做11】 已知sin ，cos ，则tan 等于()A. B.C. D.【做一做12】 sin22 011cos22 011_.答案：(1)1tan (2)平方和正切【做一做11】 D【做一做12】 1三角函数式的化简与证明方法剖析：三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.三角函数的证明是一种指定答案的恒等变形，与三角函数式的化简相比要简单一些.化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法有：异次化同次、高次化低次、切化弦、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：(1)直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；(2)综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；(3)中间量法：证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“若ac，bc，则ab”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；(4)分析法：即从结论出发，逐步向已知要条件，其证明过程的书写格式为“要证明，只需”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立.题型一 已知cos (或sin)，求tan 和sin (cos )【例1】 已知cos ，求sin ，tan 的值.分析：先利用平方关系求出sin 的值，再利用商关系求出tan 的值.在求sin 的值时，先由余弦值为负确定角的终边在第二或第三象限，然后分象限讨论.反思：已知cos (或sin )求tan 时，先利用平方关系求出sin (或cos )，再利用商关系求出tan .注意求sin (或cos )时，往往需分类讨论所在的象限.题型二 已知tan ，求sin 和cos 【例2】 已知tan 3，求sin 和cos .分析：利用平方关系和商关系，列方程组解得sin 和cos .反思：已知tan 求sin 和cos 时，通常解方程组得sin 和cos 的值.题型三 证明三角恒等式【例3】 求证：2(1sin )(1cos )(1sin cos )2.反思：证明三角恒等式时，若左繁右简，选择从左向右推证；若左简右繁，选择从右向左推证；若两边都很繁琐，则选择两边同时化简，得到同一个式子.题型四 已知tan 的值求其他代数式的值【例4】 已知tan 7，求下列各式的值.(1)；(2)sin2sin cos 3cos2.分析：对于(1)，可以将分子和分母同时除以cos ，则分子和分母中都只含有tan ，再将tan 7代入；对于(2)，可将分母看成是sin2cos2，将分子和分母同时除以cos2.反思：1.已知tan m，求关于sin ，cos 的齐次式的值的问题时，需注意以下几点：(1)一定是关于sin ，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)解决此类问题的策略是先化简再求值(用tan 来表示)；(3)因为cos 0，可用cosn(nN*)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan 的表达式，再将tan 的值代入，从而完成求值任务.2.形如或的分式，分子、分母分别同时除以cos 、cos2，将正、余弦转化为正切，从而求值.3.形如asin2bsincosccos2的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2cos2，转化为形如的式子.题型五 易错辨析易错点忽视sin 与cos 的制约关系【例5】 已知是第二象限的角，且sin ，cos ，则实数m的值是()A.3m9 B.5m9C.m0或m8 D.m8错解：为第二象限角，解得3m9，故选A.错因分析：上述解法看似合理，但其结果是错误的.如：我们在上述解法所得结果即3m9中取m4，则有sin ，cos .于是，sin2cos2221，这显然是错误的，上述错误的原因是忽略了sin 与cos 的相互制约关系，即sin2cos21.反思：sin2cos21是恒等式，往往是作为一个隐含条件，如果忽视该恒等式，那么就会出错.答案：【例1】 解：cos 0，是第二或第三象限的角若是第二象限角，则sin ，tan ；若是第三象限角，则sin ，tan .【例2】 解：由题意，得解得或【例3】 证法一：左边112sin 2cos 2sin cos 1sin2cos22sin cos 2(cos sin )12(cos sin )(cos sin )2(1sin cos )2右边证法二：左边22sin 2cos 2sin cos ，右边1sin2cos22sin 2cos 2sin cos 22sin 2cos 2sin cos .左边右边证法三：令1sin x，cos y，则(x1)2y21，即x2y22x.左边2x(1y)2x2xyx2y22xy(xy)2右边【例4】 解：(1).(2)sin2sin cos 3cos2.【例5】 D正解：是第二象限角，m8，故选D.1已知为锐角，sin ，则tan 等于()A. B. C. D.2化简的结果为()A.cos 190 B.sin 190C.sin 190 D.cos 1903化简sin2sin2sin2cos2sin2sin2 的结果为_.4(2011上海春季高考)在 ABC中，若tan A，则sin A_.5已知tan 2，则sin2sin cos _.6求证：.答案：1D为锐角，cos .tan .2C原式|sin 190|sin 190.