大一高等数学复习题(含答案).pdf

复习题复习题 一 单项选择题 一 单项选择题 1 5lg 1 x xf的定义域是 D A 5 5 B 6 6 C 4 4 D 5 4 4 6 6 5 2 如果函数 f x 的定义域为 1 2 则函数 f x f x2 的定义域是 B A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 1 1 2 3 函数 1lg 1lg 22 xxxxy D A 是奇函数 非偶函数B 是偶函数 非奇函数 C 既非奇函数 又非偶函数D 既是奇函数 又是偶函数 解 定义域为 R 且原式 lg x2 1 x2 lg1 0 4 函数 10 1 2 xxxf的反函数 1 xf C A 2 1x B 2 1x C 01 1 2 xxD 01 1 2 xx 5 下列数列收敛的是 C A 1 1 1 n n nf n B 为偶数 为奇数 n n n n nf 1 1 1 1 C 为偶数 为奇数 n n n n nf 1 1 1 D 为偶数 为奇数 n n nf n n n n 2 21 2 21 解 选项 A B D 中的数列奇数项趋向于 1 偶数项趋向于 1 选项 C 的数列极限为 0 6 设 11 11 0 个n n y 则当 n时 该数列 C A 收敛于 0 1B 收敛于 0 2C 收敛于 9 1 D 发散 解 10 1 1 9 1 10 1 10 1 10 1 111 0 2nn n y 7 f x 在点 x x0处有定义 是当 x x0时 f x 有极限的 D A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件 8 下列极限存在的是 A A 2 1 lim x xx x B 12 1 lim x x C x x e 1 0 lim D x x x 1 lim 2 解 A 中原式1 1 1 lim x x 9 xx xxx x sin2 sin2 lim 2 2 A A 2 1 B 2C 0D 不存在 解 分子 分母同除以 x2 并使用结论 无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量 得 10 1 1sin lim 2 1 x x x B A 1B 2C 2 1 D 0 解 原式 2 1 1sin 1 lim 2 2 1 x x x x 11 下列极限中结果等于 e 的是 B A x x x x x sin 0 sin 1 lim B x x x x x sin sin 1 lim C x x x x x sin sin 1 lim D x x x x x sin 0 sin 1 lim 解 A 和 D 的极限为 2 C 的极限为 1 12 函数 ln 1 x y 的间断点有 C 个 A 1B 2C 3D 4 解 间数点为无定义的点 为 1 0 1 13 下列函灵敏在点 x 0 外均不连续 其中点 x 0 是 f x 的可去间断点的是 B A x xf 1 1 B x x xfsin 1 C x exf 1 9 D 0 0 1 xe xe xf x x 解 A 中极限为无穷大 所以为第二类间断点 B 中极限为 1 所以为可去间断点 C 中右极限为正无穷 左极限为 0 所以为第二类间断点 D 中右极限为 1 左极限为 0 所以为跳跃间断点 14 下列结论错误的是 A A 如果函数 f x 在点 x x0处连续 则 f x 在点 x x0处可导 B 如果函数 f x 在点 x x0处不连续 则 f x 在点 x x0处不可导 C 如果函数 f x 在点 x x0处可导 则 f x 在点 x x0处连续 D 如果函数 f x 在点 x x0处不可导 则 f x 在点 x x0处也可能连续 15 设 f x x x 1 x 2 x 3 则 f 0 A A 6B 3C 2D 0 16 设 f x cosx 则 x xafaf x lim 0 B A asinB asin C acosD acos 解 因为原式 lim 0 af x xafaf x 17 xy2cos2 则 dy D A dxxx 2 2 cos2 B xdx2cos 2 cos2 C xdxx2sin2cos2 D xxd2cos2cos2 18 f x 在点 x x0处可微 是 f x 在点 x x0处连续的 C A 充分且必要条件B 必要非充分条件 C 充分非必要条件D 既非充分也非必要条件 19 设 xn exy 2 则 0 n y A A n n 2 B n C 1 2 n nD n 2 20 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 A A y x2 5x 6 2 3 B 2 1 1 x y 0 2 C x xey 0 1 D 5 1 5 1 x xx y 0 5 21 求下列极限能直接使用洛必达法则的是 B A x x x sin lim B x x x sin lim 0 C x x x 3sin 5tan lim 2 D x x x x sin 1 sin lim 2 0 22 设232 xx xf 则当 x 趋于 0 时 B A f x 与 x 是等价无穷小量B f x 与 x 是同阶非等价无穷小量 C f x 是比 x 较高阶的无穷小是D f x 是比 x 较低阶的无穷小量 解 利用洛必达法则 13ln2ln 1 3ln32ln2 lim 232 lim lim 0 0 0 00 xx x xx xx xx xf 23 函数 xx eexf 在区间 1 1 内 D A 单调增加B 单调减少C 不增不减D 有增有减 24 函数 2 1x x y 在 1 1 内 A A 单调增加B 单调减少C 有极大值D 有极小值 25 函数 y f x 在 x x0处取得极大值 则必有 D A f x0 0B f x0 0 C f x0 0 且 f x0 0 是函数 f x 在点 x x0 处以得极小值的一个 B A 必要充分条件B 充分非必要条件 C 必要非充分条件D 既非必要也非充分条件 27 函数 y x3 12x 1 在定义域内 A A 单调增加B 单调减少C 图形上凹D 图形下凹 28 设函数 f x 在开区间 a b 内有 f x 0 且 f x 0 则 y f x 在 a b 内 C A 单调增加 图形上凹B 单调增加 图形下凹 C 单调减少 图形上凹D 单调减少 图形下凹 29 对曲线 y x5 x3 下列结论正确的是 D A 有 4 个极值点B 有 3 个拐点C 有 2 个极值点D 有 1 个拐点 30 若 Cexdxxf x22 则 f x D A z ex 2 2B z xe24C x ex 22 2D 1 2 2 xxe x 31 已知xy2 且 x 1 时 y 2 则 y C A x2B x2 CC x2 1D x2 2 32 xd arcsin B A xarcsinB xarcsin CC xarccosD xarccos C 33 设 x f 存在 则 xdf B A f x B x f C f x CD x f C 34 若 Cxdxxf 2 则 dxxxf 1 2 D A Cx 22 1 2B Cx 22 1 2 C Cx 22 1 2 1 D Cx 22 1 2 1 解 Cxxdxfdxxxf 22222 1 2 1 1 1 2 1 1 35 设 Cxdxxfsin 则 dx x xf 2 1 arcsin D A arcsinx CB Cx 2 1sinC Cx 2 arcsin 2 1 D x C 解 原式 Cxcxxdxf sin arcsinarcsin arcsin 36 设 x exf 则 dx x xf ln C A C x 1 B Cx lnC C x 1 D lnx C 解 原式 C x CeCxfxdxf x 1 lnln ln ln 37 设 Cxdxxxfarcsin 则 dx xf 1 B A Cx 32 1 4 3 B Cx 32 1 3 1 C Cx 3 22 1 4 3 D Cx 3 22 1 3 2 解 对 Cxdxxxfarcsin 两端关于 x 求导得 2 1 1 x xxf 即 2 1 1 xx xf 所以Cxxdxdxxxdx xf 22222 1 3 1 1 1 2 1 1 1 38 若 sinx 是 f x 的一个原函数 则 dxxf x A A xcosx sinx CB xsinx cosx C C xcosx sinx CD xsinx cosx C 解 由 sinx 为 f x 的一个原函数知 f x cosx 则使用分部积分公式得 39 设xef x 1 则 f x B A 1 lnx CB xlnx CC C x x 2 2 D xlnx x C 40 下列积分可直接使用牛顿 莱布尼茨公式的是 A A dx x x 5 0 2 3 1 B dx x dx 1 12 1 C 4 0 2 2 3 5 x xdx D 1 1 ln e xx xdx 解 选项 A 中被积函数在 0 5 上连续 选项 B C D 中被积函数均不能保证在闭区间上 连续 41 2 2 sin dxx A A 0B 2 0 sin 2 dxxC 0 2 sin 2 dxxD 2 0 sin2 xdx 42 使积分 2 0 22 32 1 dxxkx的常数 k C A 40B 40C 80D 80 解 原式 32 5 2 0 2 1 1 2 1 1 2 2 2 0 222 k x k xdx k 43 设 1 0 1 01 12 xx x xf x 则 1 1 dxxf B A 3 1 2ln2 1 B 3 5 2ln2 1 C 3 1 2ln2 1 D 3 5 2ln2 1 解 3 5 2ln2 1 0 1 1 3 2 1 0 2 2ln 1 1 12 2 3 1 0 2 0 1 1 1 xxdxxdxdxxf xx 44 x dttty 0 2 2 1 则 0 x dx dy B A 2B 2C 1D 1 解 dy dx x 1 2 x 2 45 下列广义积分收敛的是 B A 1 0 x dx B 1 0 x dx C 1 0 xx dx D 1 0 3 x dx 解 四个选项均属于 1 0 p x dx 该广义积分当 p0 b 0 至少有一个正根 且不超过 a b 参考答案 写出辅助函数 1 分 证明过程 4 分 令 f x x asinx b 显然 f x 是一个初等函数 所以在 0 a b 上连续 又 f x 在端点处的函数值有 f 0 b 0 若 f a b 0 则 a b 为方程的根 若 f a b 0 由零点存在定理可知 在 0 a b 内至少存在一点 使得 f 0 此即说明方程 x asinx b 至少有一个不超过 a b 的正根 3 5 101 xx 证明方程有且仅有一个小于 的正实根 参考答案 参考答案 一 先证存在性 5 00 1 0 1 0 1 1 1 0 1 01 f xxxf x ff xf x 设 则在连续 且 由零点定理 使 即为方程的小于 的正实根 二 再证唯一性 1101 01 01 4 0 1 0 0 510 0 1 0 xxxf x f xx x x xf fxxxf 假设另有使 因为在之间满足罗尔定理的条件 所以至少存在一个在之间 使得 但 这与矛盾 假设不成立 5 5101 xx 综上 方程有且仅有一个小于 的正实根 4 0 ab 证明当时 有不等式 22 arctanarctan 11 b