31、三角函数的应用30三角函数的应用 (2).ppt

三角函数的应用 2sin x1 x2 0 cosx1cosx2 0且0 cos x1 x2 1 0 cos x1 x2 cos x1 x2 1 cos x1 x2 典型例题 由已知0 t1 1 0 t2 1 只需证明 1 t1t2 2 1 t12 1 t22 即证1 2t1t2 t1t2 2 1 t12 t22 t1t2 2 即证 t1 t2 2 0 t1 t2 t1 t2 2 0成立 由题设3 a 2 a 1 有以下解法 解法1凑角处理 解法2先化简原式 解法3变式处理 应用题举例 1 已知扇形的周长为30cm 当它的半径和圆心角各取什么值时 才能使扇形的面积最大 最大面积是多少 解 设扇形的半径为r 圆心角为 面积为s 弧长为l 依题意得l 2r 30 则l 30 2r 0 r 15 56 25 当且仅当15 r r即r 7 5时取等号 故当r 7 5时 s取最大值56 25 此时 l 15 答 扇形的半径为7 5cm 圆心角为2rad时 扇形的面积最大 最大面积是56 25cm2 2 已知一扇形的中心角为 所在圆的半径为r 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 解 1 设扇形的弧长为l 该弧所在的弓形面积为s弓 2 扇形的周长c 2r l 2r r 3 如图所示 abcd是一块边长为100m的正方形地皮 其中 解 连结ap 设 pab 0 90 延长rp 交ab于m 则am 90cos mp 90sin pq mb 100 90cos pr mr mp 100 90sin s矩形pqcr pq pr 100 90cos 100 90sin 10000 9000 sin cos 8100sin cos s矩形pqcr 10000 9000t 4050 t2 1 4050t2 9000t 5950 当且仅当2sin2 cos2 时取等号 5 如图 某地要修建一横截面为梯形的水渠 为降低成本 必须尽量减少水与水渠壁的接触面 若水渠断面面积为定值a 渠深8分米 则水渠的倾角 为多少时 才能使修建成本最低 解 作ce ad于e 设水渠横断面边长之和为l 则l bc 2cd 则k 0 且ksin cos 2 sin 1 6 平地上有一水渠 渠边是两条长100米的平行线段 渠宽ab长2米 与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧 圆弧中点为c 渠中水深为0 4米 1 求渠中水有多少立方米 sin0 927 0 8 2 若要把水渠改挖 不得填土 成截面为等腰梯形的水渠 使渠的底面与地面平行 改挖后的渠底宽为多少时 所挖的土最少 结果保留根号 解 1 如图 依题意 cf 0 4 oe 1 of 0 6 ef 0 8 de 2ef 1 6 在 oef中 sin eof 0 8 eoc 0 927 eod 2 0 927 0 927 渠中有水100 0 927 0 48 44 7 立方米 6 平地上有一水渠 渠边是两条长100米的平行线段 渠宽ab长2米 与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧 圆弧中点为c 渠中水深为0 4米 2 若要把水渠改挖 不得填土 成截面为等腰梯形的水渠 使渠的底面与地面平行 改挖后的渠底宽为多少时 所挖的土最少 结果保留根号 解 2 如图 依题意 只需等腰梯形面积最小 设 onp 则梯形面积 即ssin2 cos2 2 sin 2 1 解 如图 分两种情况讨论 ab cd a ad bc b 7 有一块长为a 宽为b a b 的矩形木板 在二面角为 的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓 使木板垂直于地面的两边与封面贴紧 试问 应怎样围才能使储物仓的容积最大 并求出这个最大值 设oa x ob y 则a2 x2 y2 2xycos a2 2xy 2xycos 2xy 1 cos 当oa ob时 储物仓的容积最大 2 若使短边紧贴地面 则 1 若使长边紧贴地面 则 也是oa ob时 储物仓的容积最大 v1 v2 故当长边紧贴地面且仓的底面是以a为底边的等腰三角形时 储物仓的容积最大 解 1 ac asin ab acos 设正方形边长为x 则bq xcot rc xtan 8 如图 某园林单位准备绿化一块直径为bc的半圆形空地 abc外的地方种草 abc的内接正方形pqrs为一水池 其余的地方种花 若bc a abc 设 abc的面积为s1 正方形的面积为