3.2.3 立体几何中的向量方法三).ppt

zpz 3 2 3立体几何中的向量方法 三 空间 角度 问题 一 复习引入 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 化为向量问题 进行向量运算 回到图形 向量的有关知识 两向量数量积的定义 a b a b cos a b 两向量夹角公式 cos a b 直线的方向向量 与直线平行的非零向量 平面的法向量 与平面垂直的向量 课本第107页练习2 如图 60 的二面角的棱上有a b两点 直线ac bd分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直ab 已知ab 4 ac 6 bd 8 求cd的长 二面角的平面角 方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的夹角 如图 2 设二面角的大小为其中ab 例1 如图3 甲站在水库底面上的点a处 乙站在水坝斜面上的点b处 从a b到直线 库底与水坝的交线 的距离ac和bd分别为和 cd的长为 ab的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 解 如图 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是 得 设向量与的夹角为 就是库底与水坝所成的二面角 因此 所以 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 例1 如图3 甲站在水库底面上的点a处 乙站在水坝斜面上的点b处 从a b到直线 库底与水坝的交线 的距离ac和bd分别为和 cd的长为 ab的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 思考 1 本题中如果夹角可以测出 而ab未知 其他条件不变 可以计算出ab的长吗 分析 可算出ab的长 2 如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长 并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等 那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗 分析 如图 设以顶点为端点的对角线长为 三条棱长分别为各棱间夹角为 3 如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗 a1 b1 c1 d1 a b c d 分析 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解 如图 在平面ab1内过a1作a1e ab于点e e f 在平面ac内作cf ab于f 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值 空间 夹角 问题 1 异面直线所成角 l m l m 若两直线所成的角为 则 例2 解 以点c为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示 设则 所以 所以与所成角的余弦值为 练习 在长方体中 方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的夹角 如图 2 设二面角的大小为其中ab 2 二面角 注意法向量的方向 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 一进一出 二面角等于法向量夹角 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 如图 向量 则二面角的大小 2 二面角 若二面角的大小为 则 法向量法 例2正三棱柱中 d是ac的中点 当时 求二面角的余弦值 故 则可设 1 则b 0 1 0 作于e 于f 则 即为二面角的大小 在中 即e分有向线段的比为 由于且 所以 在中 同理可求 即二面角的余弦值为 解法二 同法一 以c为原点建立空间直角坐标系c xyz 在坐标平面yoz中 设面的一个法向量为 同法一 可求b 0 1 0 由得 解得 所以 可取 即二面角的余弦值为 方向朝面外 方向朝面内 属于 一进一出 的情况 二面角等于法向量夹角 1 已知正方体的边长为2 o为ac和bd的交点 m