广东省各市2015年中考数学试题分类解析汇编 专题20：压轴题.doc

广东省各市广东省各市 2015 年中考数学试题分类解析汇编 年中考数学试题分类解析汇编 20 专题 专题 专题专题 2020 压轴题 压轴题 1 2015 年广东梅州年广东梅州 3 分 分 对于二次函数 2 2yxx 有下列四个结论 它的对称轴是直线1x 设 22 111222 2 2yxxyxx 则当 21 xx时 有 21 yy 它的图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 当0 0y 其中 正确结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 C 考点考点 二次函数的图象和性质 分析分析 2 2 211yxxx 二次函数图象的对称轴是直线1x 故结论 正确 当1x 时 y随x的增大而减小 此时 当 21 xx时 有 21 yy 故结论 错误 2 20yxx 的解为 12 0 2xx 二次函数图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 故结论 正确 二次函数图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 且有最大值 1 当 0 0y 故结论 正确 综上所述 正确结论有 三个 故选 C 2 2015 年广东佛山年广东佛山 3 分 分 下列给出 5 个命题 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 六边形的内角和等于 720 相等的圆心角所对的弧相等 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 其中正确命题的个数是 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 答案答案 A 考点考点 命题和定理 正方形的判定 多边形内角和定理 圆周角定理 三角形中位线定 理 菱形的性质 矩形的判定 三角形的内心性质 分析分析 根据相关知识对各选项进行分析 判作出断 对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形 命题不正确 根据多边形内角和公式 得六边形的内角和等于 62180720 命题正 确 同圆或等圆满中 相等的圆心角所对的弧才相等 命题不正确 根据三角形中位线定理 菱形的性质和矩形的判定可知 顺次连结菱形各边中 点所得的四边形是矩形 命题正确 三角形的内心到三角形三边的距离相等 命题不正确 其中正确命题的个数是 2 个 故选 A 3 2015 年广东广州年广东广州 3 分 分 已知 2 是关于x的方程 2 230 xmxm 的一个根 并且这 个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长 则三角形 ABC 的周长为 A 10 B 14 C 10 或 14 D 8 或 10 答案答案 B 考点考点 一元二次方程的解和解一元二次方程 确定三角形的条件 分析分析 2 是关于x的方程 2 230 xmxm 的一个根 4430mm 解得 4m 方程为 2 8120 xx 解得 12 2 6xx 这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长 根据三角形三边关系 只能是 6 6 2 三角形 ABC 的周长为 14 故选 B 4 2015 年广东深圳年广东深圳 3 分 分 如图 已知正方形 ABCD 的边长为 12 BE EC 将正方形边 CD 沿 DE 折叠到 DF 延长 EF 交 AB 于 G 连接 DG 现在有如下 4 个结论 ADGFDG 2GBAG GDEBEF 72 5 BEF S 在以上 4 个结论 中 正确的有 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 C 考点考点 折叠问题 正方形的性质 全等 相似三角形的判定和性质 勾股定理 分析分析 由折叠和正方形的性质可知 0 90DFDCDADFCC 0 90DFGA 又 DGDG ADGFDG HL 故结论 正确 正方形 ABCD 的边长为 12 BE EC 6BEECEF 设AGFGx 则6 12EGxBGx 在Rt BEG 中 由勾股定理 得 222 EGBEBG 即 22 2 662xx 解得 4x 4 8AGGFBG 2GBAG 故结论 正确 6BEEF BEF 是等腰三角形 易知GDE 不是等腰三角形 GDE 和BEF 不相似 故结论 错误 11 6 824 22 BEG SBE BG 672 24 105 BEFBEG EF SS EG 故结论 正确 综上所述 4 个结论中 正确的有 三个 故选 C 5 2015 年广东年广东 3 分 分 如图 已知正 ABC 的边长为 2 E F G 分别是 AB BC CA 上的点 且 AE BF CG 设 EFG 的面积为 y AE 的长为 x 则 y 关于 x 的函数图象大致 是 A B C D 答案答案 D 考点考点 由实际问题列函数关系式 几何问题 二次函数的性质和图象 分析分析 根据题意 有 AE BF CG 且正三角形 ABC 的边长为 2 AEG BEF CFG 三个三角形全等 2 BECFAGx 在 AEG 中 2 AExAGx 13 2 24 VAEG SAE AG sinAxx 2 333 3 33323 442 VVABCAEG ySSxxxx 其图象为开口向上的二次函数 故选 D 6 2015 年广东汕尾年广东汕尾 4 分 分 对于二次函数 2 2yxx 有下列四个结论 它的对称轴是直线1x 设 22 111222 2 2yxxyxx 则当 21 xx时 有 21 yy 它的图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 当0 0y 其中 正确结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 C 考点考点 二次函数的图象和性质 分析分析 2 2 211yxxx 二次函数图象的对称轴是直线1x 故结论 正确 当1x 时 y随x的增大而减小 此时 当 21 xx时 有 21 yy 故结论 错误 2 20yxx 的解为 12 0 2xx 二次函数图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 故结论 正确 二次函数图象与x轴的两个交点是 0 0 和 2 0 且有最大值 1 当 0 0y 故结论 正确 综上所述 正确结论有 三个 故选 C 7 2015 年广东珠海年广东珠海 3 分 分 如图 在OA中 直径CD垂直于弦AB 若25C 则 BOD 的度数是 A 25 B 30 C 40 D 50 答案答案 D 考点考点 垂径定理 圆周角定理 分析分析 直径CD垂直于弦AB ADBD C 和BOD 是同圆中等弧所对的圆周角和圆心角以 且C 25 BODC 250 故选 D 1 2015 年广东梅州年广东梅州 3 分 分 若 1 21212121 ab nnnn 对任意自然数n都成 立 则 a b 计算 1111 1 33 55 719 21 m 答案答案 1 2 1 2 10 21 考点考点 探索规律题 数字的变化类 分析分析 111 21212 212 212121 ab nnnnnn 11 22 ab 11111111111110 1 33 55 719 2126610384224221 m 2 2015 年广东佛山年广东佛山 3 分 分 各边长度都是整数 最大边长为 8 的三角形共有 个 答案答案 20 考点考点 探索规律题 图形的变化类 三角形构成条件 分析分析 应用列举法 逐一作出判断 三边边长都为 8 能构成 1 个三角形 两边边长为 8 能构成三角形的另一边有 1 2 3 4 5 6 7 计 7 个 一边边长为 8 能构成三角形的另两边组合有 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 3 6 4 6 5 6 6 6 4 5 5 5 计 12 个 各边长度都是整数 最大边长为 8 的三角形共有 20 个 3 2015 年广东广州年广东广州 3 分 分 如图 四边形 ABCD 中 A 90 3 3AB AD 3 点 M N 分别为线段 BC AB 上的动点 含端点 但点 M 不与点 B 重合 点 E F 分别为 DM MN 的中点 则 EF 长度的最大值为 答案答案 3 考点考点 双动点问题 三角形中位线定理 勾股定理 分析分析 如答图 连接DN 点 E F 分别为 DM MN 的中点 1 2 EFDN 要使EF最大 只要DN最大即可 根据题意 知当点N到达点B与B重合时 DN最大 A 90 3 3AB AD 3 2 2 3 336DNDB 此时 1 3 2 EFDN 4 2015 年广东深圳年广东深圳 3 分 分 如图 已知点 A 在反比例函数 0 k yx x 上 作Rt ABC 点 D 为斜边 AC 的中点 连 DB 并延长交 y 轴于点 E 若BCE 的面积为 8 则 k 答案答案 16 考点考点 反比例函数的应用 相似三角形的判定和性质 直角三角形斜边上中线的性质 等腰三角形的性质 分析分析 由题意 1 8 2 BCE SBC OE 16BC OE 点 D 为斜边 AC 的中点 BDDC DBCDCBEBO 又 ABCEOB ABCEOB BCAB OBOE 16kOB ABBC OE 5 2015 年广东年广东 4 分 分 如图 ABC 三边的中线 AD BE CF 的公共点 G 若 12 ABC S 则图中阴影部分面积是 答案答案 4 考点考点 等底同高三角形面积的性质 转换思想和数形结合思想的 应用 分析分析 如答图 各三角形面积分别记为 ABC 三边的中线 AD BE CF 的公共点 G AG 2GD 2 2 12 ABC S12 12 22 即图中阴影部分面积 123124 22 2 2 2 2 是 4 6 2015 年广东汕尾年广东汕尾 5 分 分 若 1 21212121 ab nnnn 对任意自然数n都成 立 则 a b 计算 1111 1 33 55 719 21 m 答案答案 1 2 1 2 10 21 考点考点 探索规律题 数字的变化类 分析分析 111 21212 212 212121 ab nnnnnn 11 22 ab 11111111111110 1 33 55 719 2126610384224221 m 7 2015 年广东珠海年广东珠海 4 分 分 如图 在 111 ABC 中 已知 111111 745ABBCAC 依次连接 111 ABC 的三边中点 得 222 A B C 再依次连接 222 A B C 的三边中点得 333 A B C 则 555 A B C 的周长为 答案答案 1 考点考点 探索规律题 图形的变化类 三角形中位线定理 分析分析 A B C 222的三顶点在 ABC 111的三边中点 A B C 222的周长是 ABC 111周 长的 1 2 A B C 333的三顶点在 A B C 222的三边中点 A B C 333的周长是 A B C 222周长的 1 2 是ABC 111周长的 2 1 2 A B C 444的三顶点在 A B C 333的三边中点 A B C 444的周长是 A B C 333周长的 1 2 是ABC 111周长的 3 1 2 A B C 555的三顶点在 A B C 444的三边中点 A B C 555的周长是 A B C 444周长的 1 2 是ABC 111周长的 4 1 2 又 ABBCAC 111111 745 A B C 555的周长为 ABBCAC 11111 4 11 7 4 51 216 1 2015 年广东梅州年广东梅州 10 分 分 在 Rt ABC 中 A 90 AC AB 4 D E 分别是边 AB AC 的中点 若等腰 Rt ADE 绕点 A 逆时针旋转 得到等腰 Rt AD1E1 设旋转角为 0 180 记直线 BD1与 CE1的交点为 P 1 如图 1 当 90 时 线段 BD1的长等于 线段 CE1的长等于 直接填写结果 2 如图 2 当 135 时 求证 BD1 CE1 且 BD1 CE1 3 求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值 直接写出结果 答案答案 解 1 2 5 2 5 2 证明 当 135 时 由旋转可知 D1AB E1AC 135 又 AB AC AD1 AE1 D1AB E1AC SAS BD1 CE1 且 D1BA E1CA 设直线 BD1与 AC 交于点 F 有 BFA CFP CPF FAB 90 BD1 CE1 3 13 考点考点 面动旋转问题 等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等 相似三角形的判定和 性质 分析分析 1 如题图 1 当 90 时 线段 BD1的长等于 2222 422 5ABAE 线段 CE1的长等于 2222 1 422 5ACAE 2 由 SAS 证明 D1AB E1AC 即可证明 BD1 CE1 且 BD1 CE1 3 如答图 2 当四边形 AD1PE1为正方形时 点 P 到 AB 所 在直线的距离距离最大 此时 11 222 3ADPDPB 1 ABDPBH 1 ADAB PHPB 24 22 3PH 13PH 当四边形 AD1PE1为正方形时 点 P 到 AB 所在直线的距离距离的最大值为 13 2 2015 年广东梅州年广东梅州 10 分 分 如图 过原点的直线 1 yk x 和 2 yk x 与反比例函数 1 y x 的图象分别交于两点 A C 和 B D 连结 AB BC CD DA 1 四边形 ABCD 一定是 四边形 直接填写结果 2 四边形 ABCD 可能是矩形吗 若可能 试求此时 1 k和 2 k之间的关系式 若不可能 说明理由 3 设 112221 0P xyQ xyxx 是函数 1 y x 图象上的任意两点 12 12 2 2 yy ab xx 试判断a b的大小关系 并说明理由 答案答案 解 1 平行 2 四边形 ABCD 可能是矩形 此时 12 1k k 理由如下 当四边形 ABCD 是矩形时 OA OB 联立 1 1 yk x y x 得1 1 1 x k yk 1 1 1 Ak k 同理 2 2 1 Bk k 22 12 12 11 OAkOBk kk 12 12 11 kk kk 得 21 12 1 10kk k k 21 0kk 12 1 10 k k 12 1k k 四边形 ABCD 可以是矩形 此时 12 1k k 3 a b 理由如下 22 121212 12 12121212121212 421112 2222 xxx xxxyy ab xxxxxxx xxxx xxx x2 x1 0 2 12 0 xx 1212 2 0 x xxx 2 12 1212 0 2 xx x xxx a b 考点考点 反比例函数和一次函数综合题 平行四边形的判定 矩形的性质 代数式化简 作差法的应用 分析分析 1 根据反比例函数的中心对称性 有 OAOCOBOD 所以 四边形 ABCD 一定是平行四边形 2 求出点 A B 的坐标 根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到 OA OB 即 22 OAOB 据此列式化简得证 3 作差 化简 得出结论 3 2015 年广东佛山年广东佛山 10 分 分 如图 一小球从斜坡O点处抛出 球的抛出路线可以用二次 函数 2 4yxx 刻画 斜坡可以用一次函数 1 2 yx 刻画 1 请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标 2 小球的落点是 A 求点 A 的坐标 3 连结抛物线的最高点 P 与点 O A 得 POA 求 POA 的面积 4 在 OA 上方的抛物线上存在一点 M M 与 P 不重合 MOA 的面积等于 POA 的面 积 请直接写出点 M 的坐标 答案答案 解 1 2 22 444424yxxxxx 点 P 的坐标为 2 4 2 联立 2 4 1 2 yxx yx 解得 0 0 x y 或 7 2 7 4 x y 点 A 的坐标为 77 24 3 如答图 1 作二次函数图象的对称轴交OA于点B 则点B的坐标为 2 1 3BP 11721 3 232 2224 POAOBPBAP SSS V 4 315 24 考点考点 二次函数的应用 实际问题 二次函数的性质 曲线上点的坐标与方程的关系 等高三角形面积的应用 待定系数法 转换思想和数形结合思想的应用 分析分析 1 化为顶点式即可得二次函数图象的顶点坐标 2 联立 2 4yxx 和 1 2 yx 即可求出点 A 的坐标 3 作辅助线 作二次函数图象的对称轴交OA于点B 将 POA SV转化为 OBP S 和 BAP S 之和 4 作辅助线 过点P作 PMOA交抛物线于另一点M 则 MOA 的面积等 于 POA 的面积 设直线PM的解析式为 1 2 yxm 将 2 4P 代入 得 1 423 2 mm 直线PM的解析式为 1 3 2 yx 联立 2 4 1 3 2 yxx yx 解得 2 4 x y 或 3 2 15 4 x y 点 M 的坐标为 315 24 4 2015 年广东佛山年广东佛山 11 分 分 如图 在ABCDY中 对角线 AC BD 相交于点 O 点 E F 是 AD 上的点 且AEEFFD 连结 BE BF 使它们分别与 AO 相交于点 G H 1 求 EGBG的值 2 求证 AGOG 3 设 AGa GHbHOc 求 abc的值 答案答案 解 1 AEEFFD 1 3 AE AD 四边形ABCD是平行四边形 ADBC AEGCBG 1 3 EGAE BGAD 即 1 3 EGBG 2 证明 由 1 AEGCBG 1 3 AG CG 四边形ABCD是平行四边形 AOOC 2CGAOAG 1 23 AG AOAG 即 1 2 AGAO AGOG 3 如答图 过点F作 FMAC交BD于点M AEEFFD 1 3 DMDF DODA 1 6 DMBD 5 6 BMBD 1 2 BOBD 3 5 BO BM FMAC BOHBMF 3 5 HOBO FMBM 即 3 5 HOFM FMAC DFMDAO 1 3 FMDF AODA 即 1 3 FMAO 33 11 55 35 HOFMAOAO 由 2 得 1 2 AGAO 113 2510 GHAOAGHOAOAOAOAO AGa GHbHOc 131532 5 3 2 2105101010 abcAOAOAO 考点考点 平行四边形的综合题 平行四边形的性质 平行的性质 相似三角形的判定和性 质 数形结合思想的应用 分析分析 1 由平行四边形对边平行的性质可得AEGCBG 从而得出结果 2 由 1 AEGCBG 得到 1 3 AG CG 从而根据平行四边形对角线互相平 分的性质得出结论 3 作辅助线 过点F作 FMAC交BD于点M 构造两组相似三角形 BOHBMF 和BOHBMF 通过相似三角形对应边成比例的性质 求出 AGGHHO 与AO的关系即可求得 abc的值 5 2015 年广东广州年广东广州 14 分 分 如图 四边形 OMTN 中 OM ON TM TN 我们把这种两 组邻边分别相等的四边形叫做筝形 1 试探究筝形对角线之间的位置关系 并证明你的结论 2 在筝形 ABCD 中 已知 AB AD 5 BC CD BC AB BD AC 为对角线 BD 8 是否存在一个圆使得 A B C D 四个点都在这个圆上 若存在 求出圆的半径 若 不存在 请说明理由 过点 B 作 BF CD 垂足为 F BF 交 AC 于点 E 连接 DE 当四边形 ABED 为菱形时 求点 F 到 AB 的距离 答案答案 解 1 筝形的对角线互相垂直 证明如下 如答图 1 连接 MNOT 在OMT 和ONT 中 OMON TMTN OTOT OMTONT SSS MOTNOT 又 OM ON OTMN 即筝形的对角线互相垂直 2 存在 由 1 知 ACBD 设 ACBD 相交于点M 如答图 2 AB AD 5 BD 8 4BM 22 534AM A B C D 四点共圆 0 180ABCADC 又 ABCADC 0 90ABCADC AC即为所求圆的直径 0 90 ABCAMBBACMAB BACMAB ABAM ACAB 即 53 5AC 解得 25 3 AC 圆的半径为 25 6 3 四边形 ABED 为菱形 5ABADBEDE 0 3 4 90AMMEBMMDBDAEBME 又 0 90BFCDBFD 0 90BMEBFD 又 MBEFBD BMEBFD BEEM BDDF 即 53 8DF 解得 24 5 DF 在Rt DEF 中 由勾股定理 得 222 EFDEDF 2 2 247 5 55 EF 32 5 BF ABDE ABFDEF 如答图 3 过点F作FGAB 于点G 则FG就 是点 F 到 AB 的距离 0 90BGFEFD BGFEFD BFFG DEDF 即 32 5 24 5 5 FG 解得 768 125 FG 点 F 到 AB 的距离为 768 125 考点考点 新定义 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性质 勾股定理 圆内接四边 形的性质 圆周角定理 相似三角形的判定和性质 分析分析 1 筝形的对角线互相垂直 利用SSS证明OMTONT 得到 MOTNOT 从而根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论 2 根据垂径定理和勾股定理求出AM的长 证明BACMAB 由对应边 成比例列式求解即可 3 证明BMEBFD 求出 24 5 DF 应用勾股定理求出 7 5 EF 得到 32 5 BF 作辅助线 过点F作FGAB 于点G 构造相似三角形BGFEFD 由对应边成比例列式求得FG的长 FG就是点 F 到 AB 的距离 6 2015 年广东广州年广东广州 10 分 分 已知 O 为坐标原点 抛物线 2 1 0 yaxbxc a 与x轴 相交于点 1 0 A x 2 0 B x 与y轴交于点 C 且 O C 两点之间的距离为 3 1212 0 4xxxx 点 A C 在直线 2 3yxt 上 1 求点 C 的坐标 2 当 1 y随着x的增大而增大时 求自变量x的取值范围 3 将抛物线 1 y向左平移 0 n n 个单位 记平移后y随着x的增大而增大的部分为 P 直线 2 y向下平移 n 个单位 当平移后的直线与 P 有公共点时 求 2 25nn 的最小值 答案答案 解 1 令0 x 得 1 yc 0 Cc O C 两点之间的距离为 3 3c 解得3c 点 C 的坐标为 0 3 或 0 3 2 12 0 xx 12 xx 异号 若 0 3C 把 0 3C 代入 2 3yxt 得30t 即3t 2 33yx 把 1 0 A x 代入 2 33yx 得 1 033x 即 1 1x 1 0A 12 xx 异号 1 1 0 x 2 0 x 12 4xx 2 14x 2 14x 2 3x 3 0B 把 1 0A 3 0B 代入 2 1 3yaxbx 得 30 9330 ab ab 解得 1 2 a b 2 2 1 2314yxxx 当1x 时 1 y随着x的增大 而增大 若 0 3C 把 0 3C 代入 2 3yxt 得30t 即 3t 2 33yx 把 1 0 A x 代入 2 33yx 得 1 033x 即 1 1x 1 0A 12 xx 异号 1 10 x 12 4xx 2 14x 2 14x 2 3x 3 0B 把 1 0A 3 0B 代入 2 1 3yaxbx 得 30 9330 ab ab 解得 1 2 a b 2 2 1 2314yxxx 当1x 时 1 y随着x的增大而增 大 综上所述 若 0 3C 当 1 y随着x的增大而增大时 1x 若 0 3C 当 1 y随着x的增大而增大时 1x 3 若 0 3C 则 2 2 1 2314yxxx 2 33yx 1 y向左平移 0 n n 个单位后的解析式为 2 3 14yxn 则当 1xn 时 3 y随着x的增大而增大 直线 2 y向下平移 n 个单位后的解析式为 4 33yxn 要使平移后直线与P有公共点 则当1xn 时 34 yy 即 2 114313nnnn 解得1n 与 0n不符 舍去 若 0 3C 则 2 2 1 2314yxxx 2 33yx 1 y向左平移 0 n n 个单位后的解析式为 2 3 14yxn 则当 1xn 时 3 y随着x的增大而增大 直线 2 y向下平移 n 个单位后的解析式为 4 33yxn 要使平移后直线与P有公共点 则当1xn 时 43 yy 即 2 3 13114nnnn 解得1n 综上所述 1n 2 2 525 252 48 nnn 当 5 4 n 时 2 25nn 的最小值为 25 8 考点考点 二次函数综合题 线动平移问题 曲线上点的坐标与方程的关系 不等式和绝对 值的性质 二次函数的最值 分类思想的应用 分析分析 1 一方面 由点 C 在抛物线 2 1 0 yaxbxc a 得到 0 Cc 另一方面 由 O C 两点之间的距离为 3 得到3c 从而得到点 C 的坐标 2 分 0 3C 和 0 3C 两种情况讨论 3 分 0 3C 和 0 3C 两种情况讨论得到n的范围内1n 从而根据二 次函数最值原理即可求解 7 2015 年广东深圳年广东深圳 9 分 分 如图 1 水平放置一个三角板和一个量角器 三角板的边 AB 和量角器的直径 DE 在一条直线上 3 6cmODcmBCAB 开始的时候 BD 1cm 现在三角板以 2cm s 的速度向右移动 1 当 B 与 O 重合的时候 求三角板运动的时间 2 如图 2 当 AC 与半圆相切时 求 AD 3 如图 3 当 AB 和 DE 重合时 求证 2 CFCG CE 答案答案 解 1 开始时 4BOcm 三角板以 2cm s 的速度向右移动 当 B 与 O 重合的时候 三角板运动的时间为 4 2 2 cm s cm s 2 如答图 1 设 AC 与半圆相切于点 H 连接 OH 则OHAC 0 90ABBCABC 0 45A 又 3OHODcm 23 2AOOH 3 23ADAODOcm 3 如答图 2 连接EF ODOF ODFOFD DF是直径 0 90DFE 0 90ODFDEF 又 0 90DECDEFCEF ODFCEF CFGOFDODFCEF 又 FCGECF CFGCEF CFCE CGCF 即 2 CFCG CE 考点考点 面动平移问题 等腰 直角 三角形的判定和性质 圆周角定理 相似三角形的 判定和性质 分析分析 1 直接根据 路程 时间 速度 计算即可 2 作辅助线 连接 O 与切点 H 构成等腰直角三角形求出AO的长 从而由 AODO 求出AD的长 3 作辅助线 连接 EF 构成相似三角形CFGCEF 得比例式即可得解 8 2015 年广东深圳年广东深圳 9 分 分 如图 1 关于x的二次函数 2 yxbxc 经过点 3 0 A 点 0 3 C 点D为二次函数的顶点 DE为二次函数的对称轴 E在x轴上 1 求抛物线的解析式 2 DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到x轴的距离相等 若存在求出点 P 若不存在 请说明理由 3 如图 2 DE 的左侧抛物线上是否存在点 F 使23 FBCEBC SS 若存在求出点 F 的 坐标 若不存在请说明理由 答案答案 解 1 将点 3 0 A 0 3 C 代入 2 yxbxc 得 930 3 bc c 解得 2 3 b c 抛物线的解析式为 2 23yxx 2 存在 2 2 2314yxxx 2 4 2 5AEDEAD 25 sin 52 5 AE ADE AD 设 1 Pp 当点P在DAB 的角平分线时 如答图 1 过点P作PMAC 于点 M 则 5 sin4 5 PMPDADEpPEp PMPE 5 4 5 pp 解得51p 1 51P 当点P在DAB 的外角平分线时 如答图 2 过点P作PMAC 于 点M 则 5 sin4 5 PMPDADEpPEp PMPE 5 4 5 pp 解得51p 1 51P 综上所述 DE 上存在点 P 到 AD 的距离与到轴的距离相等 点 P 的x 坐标为 1 51 或 1 51 3 存在 假设存在点 F 使23 FBCEBC SS 设 2 23Ffff 2 3BEOC 3 EBC S 23 FBCEBC SS 9 2 FBC S 设CF的解析式为ymxn 则 2 23 3 fmnff n 解得 2 3 mf n CF的解析式为 23yfx 令0y 得 3 2 x f 即CF与x轴的交点坐标为 3 0 2 Q f 若点F在x轴上方 如答图 2 则 BCFBCQBFQ SSS 2 91313 13123 22222 ff ff 即 2 90ff 解得 137 2 f 舍去正值 当 137 2 f 时 2 3 3715 23 2 ff 1373 3715 22 F 若点F在x轴下方 如答图 3 则 BCFBCQBFQ SSS 2 91313 13123 22222 ff ff 即 2 90ff 解得 137 2 f 舍去正值 当 137 2 f 时 2 3 3715 23 0 2 ff 不符合点F在x轴 下方 舍去 综上所述 DE 的左侧抛物线上存在点 F 使 点 F 的23 FBCEBC SS 坐标为 1373 3715 22 考点考点 二次函数综合题 待定系数法的应用 曲线上点的坐标与方程的关系 锐角三角 函数定义 角平分线的性质 分类思想 转换思想和方程思想的应用 分析分析 1 将点 3 0 A 0 3 C 代入 2 yxbxc 即可求解 2 根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质 分点P在DAB 的角平 分线和点P在DAB 的外角平分线两种情况讨论即可 3 由已知求出 9 2 FBC S 分点F在x轴上方和点F在x轴下方两种情况讨论 当点F在x轴上方时 BCFBCQBFQ SSS 当点F在x轴下方时 BCFBCQBFQ SSS 据此列方程求解 9 2015 年广东年广东 9 分 分 O 是 ABC 的外接圆 AB 是直径 过的中点 P 作 O 的直 BC 径 PG 交弦 BC 于点 D 连接 AG CP PB 1 如题图 1 若 D 是线段 OP 的中点 求 BAC 的度数 2 如题图 2 在 DG 上取一点 k 使 DK DP 连接 CK 求证 四边形 AGKC 是平行四 边形 3 如题图 3 取 CP 的中点 E 连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H 连接 PH 求证 PH AB 答案答案 解 1 AB 为 O 直径 点 P 是的中点 PG BC 即 ODB 90 BC D 为 OP 的中点 OD 11 22 OPOB cos BOD BOD 60 1 2 OD OB AB 为 O 直径 ACB 90 ACB ODB AC PG BAC BOD 60 2 证明 由 1 知 CD BD BDP CDK DK DP PDB CDK SAS CK BP OPB CKD AOG BOP AG BP AG CK OP OB OPB OBP 又 G OBP AG CK 四边形 AGCK 是平行四边形 3 证明 CE PE CD BD DE PB 即 DH PB G OPB PB AG DH AG OAG OHD OA OG OAG G ODH OHD OD OH 又 ODB HOP OB OP OBD HOP SAS OHP ODB 90 PH AB 考点考点 圆的综合题 圆周角定理 垂径定理 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 平行的判定和性质 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性质 平行四边形的判定 分析分析 1 一方面 由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出 BOD 60 另一 方面 由证明 ACB ODB 90 得到 AC PG 根据平行线的同位角相等的性质得到 BAC BOD 60 2 一方面 证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到 AG CK 另一方面 证明 AG CK 从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证 3 通过应用 SAS 证明 OBD HOP 而得到 OHP ODB 90 即 PH AB 10 2015 年广东年广东 9 分 分 如图 在同一平面上 两块斜边相等的直角三角板 Rt ABC 与 Rt ADC 拼在一起 使斜边 AC 完全重合 且顶点 B D 分别在 AC 的两旁 ABC ADC 90 CAD 30 AB BC 4cm 1 填空 AD cm DC cm 2 点 M N 分别从 A 点 C 点同时以每秒 1cm 的速度等速出发 且分别在 AD CB 上 沿 A D C B 的方向运动 当 N 点运动 到 B 点时 M N 两点同时停止运动 连结 MN 求当 M N 点运动了 x 秒时 点 N 到 AD 的距离 用含 x 的式子表示 3 在 2 的条件下 取 DC 中点 P 连结 MP NP 设 PMN 的面积为 y cm2 在整 个运动过程中 PMN 的面积 y 存在最大值 请求出这个最大值 参考数据 sin75 sin15 62 4 62 4 答案答案 解 1 2 62 2 2 如答图 过点 N 作 NE AD 于 E 作 NF DC 延长线于 F 则 NE DF ACD 60 ACB 45 NCF 75 FNC 15 sin15 FC NC 又 NC x sin15 62 4 62 4 FCx NE DF 62 2 2 4 x 点 N 到 AD 的距离为cm 62 2 2 4 x 3 NC x sin75 且 sin75 FN NC 62 4 62 4 FNx PD CP PF 2 62 2 4 x 16262116262 2 6 2 2 2 6 2 2 2442244 yxxxxxx 即 2 26732 2 2 3 84 yxx 当时 y 有最大值为 732 2 732 2 4 2662 2 8 x 6 67 310 230 4 24 6 考点考点 双动点问题 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 由实际问题列函数关系 式 二次函数的最值 转换思想的应用 分析分析 1 ABC 90 AB BC 4 4 2 AC ADC 90 CAD 30 31 cos4 22 6 sin4 22 2 22 ADACCADDCACCAD 2 作辅助线 过点 N 作 NE AD 于 E 作 NF DC 延长线于 F 构造直角三角 形 CNF 求出 FC 的长 即可由 NE DF FC CD 求解 3 由列式 根据二次函数的最值原理求解 梯形PNFNDPMDFN ySSS 11 2015 年广东汕尾年广东汕尾 11 分 分 在 Rt ABC 中 A 90 AC AB 4 D E 分别是边 AB AC 的中点 若等腰 Rt ADE 绕点 A 逆时针旋转 得到等腰 Rt AD1E1 设旋转角为 0 180 记直线 BD1与 CE1的交点为 P 1 如图 1 当 90 时 线段 BD1的长等于 线段 CE1的长等于 直接填写结果 2 如图 2 当 135 时 求证 BD1 CE1 且 BD1 CE1 3 求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值 直接写出结果 答案答案 解 1 2 5 2 5 2 证明 当 135 时 由旋转可知 D1AB E1AC 135 又 AB AC AD1 AE1 D1AB E1AC SAS BD1 CE1 且 D1BA E1CA 设直线 BD1与 AC 交于点 F 有 BFA CFP CPF FAB 90 BD1 CE1 3 13 考点考点 面动旋转问题 等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等 相似三角形的判定和 性质 分析分析 1 如题图 1 当 90 时 线段 BD1的长等于 2222 422 5ABAE 线段 CE1的长等于 2222 1 422 5ACAE 2 由 SAS 证明 D1AB E1AC 即可证明 BD1 CE1 且 BD1 CE1 3 如答图 2 当四边形 AD1PE1为正方形时 点 P 到 AB 所 在直线的距离距离最大 此时 11 222 3ADPDPB 1 ABDPBH 1 ADAB PHPB 24 22 3PH 13PH 当四边形 AD1PE1为正方形时 点 P 到 AB 所在直线的距离距离的最大值为 13 12 2015 年广东汕尾年广东汕尾 10 分 分 如图 过原点的直线 1 yk x 和 2 yk x 与反比例函数 1 y x 的图象分别交于两点 A C 和 B D 连结 AB BC CD DA 1 四边形 ABCD 一定是 四边形 直接填写结果 2 四边形 ABCD 可能是矩形吗 若可能 试求此时 1 k和 2 k之间的关系式 若不可能 说明理由 3 设 112221 0P xyQ xyxx 是函数 1 y x 图象上的任意两点 12 12 2 2 yy ab xx 试判断a b的大小关系 并说明理由 答案答案 解 1 平行 2 四边形 ABCD 可能是矩形 此时 12 1k k 理由如下 当四边形 ABCD 是矩形时 OA OB 联立 1 1 yk x y x 得1 1 1 x k yk 1 1 1 Ak k 同理 2 2 1 Bk k 22 12 12 11 OAkOBk kk 12 12 11 kk kk 得 21 12 1 10kk k k 21 0kk 12 1 10 k k 12 1k k 四边形 ABCD 可以是矩形 此时 12 1k k 3 a b 理由如下 22 121212 12 12121212121212 421112 2222 xxx xxxyy ab xxxxxxx xxxx xxx x2 x1 0 2 12 0 xx 1212 2 0 x xxx 2 12 1212 0 2 xx x xxx a b 考点考点 反比例函数和一次函数综合题 平行四边形的判定 矩形的性质 代数式化简 作差法的应用 分析分析 1 根据反比例函数的中心对称性 有 OAOCOBOD 所以 四边形 ABCD 一定是平行四边形 2 求出点 A B 的坐标 根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到 OA OB 即 22 OAOB 据此列式化简得证 3 作差 化简 得出结论 13 2015 年广东珠海年广东珠海 9 分 分 五边形ABCDE中 90 EABABCBCABDBC 且满足以点B为圆心 AB长为半径的圆弧 AC与边DE相切与点F 连接 BEBD 1 如图 1 求EBD 的度数 2 如图 2 连接AC 分别与 BEBD相交于点 GH 若115 DABBC 求AG HC 的值 答案答案 解 1 如答图 1 连接BF 圆弧AC与边DE相切与点F BFDE 在RtB