数学人教版九年级上册二次函数与数学思想随堂练习.doc

随堂练习关键词：二次函数、转化思想、数形结合思想、建模思想、待定系数法、方程思想【思想探究一】数形结合思想练习1. 已知二次函数 y1=ax2+bx+ca0 与一次函数 y2=kx+mk0 的图象相交于点 A -2,4，B 8,2（如图所示），则能使 y1y2 成立的 x 的取值范围是 练习2. 如图，已知二次函数 L1:y=x2-4x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点 C（1） 写出二次函数 L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 研究二次函数 L2:y=kx2-4kx+3kk0写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质；若直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E，F 两点，问线段 EF 的长度是否发生变化?如果不会，请求出 EF 的长度；如果会，请说明理由【思想探究二】转化思想练习3. 若关于x的函数y=x2+kx+1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为. 总结：转化思想将二次函数与x轴的交点个数问题转化为的符号问题练习4. 抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，若，那么c值为 ，抛物线的对称轴为 【思想探究三】建模思想练习5.某民俗旅游村为接待游客，开设有 100 张床位的旅馆，当每张床位每天收费 100 元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高 20 元，则相应地减少了 10 张床位租出，如果每张床位每天以 20 元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是 A. 140（元）B. 150（元）C. 160（元）D. 180（元）练习6.已知：如图在RtABC中，斜边AB5厘米，BC厘米，ACb厘米，b，且、b是方程的两根。 求和b的值； 与开始时完全重合，然后让固定不动，将以1厘米/秒的速度沿所在的直线向左移动。 设x秒后与的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围； 几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？【思想探究四】待定系数法练习7. 如图，抛物线 y=ax2-5ax+4 经过 ABC 的三个顶点，已知 BCx 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC（1） 求抛物线的对称轴；（2） 写出 A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3） 探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在 PAB 是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由练习8. 已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式。【思想探究五】方程思想练习9. 设 a，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 axb 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 a,b对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 mxn 时，有 myn, 我们就称此函数是闭区间 m,n 上的“闭函数”（1） 反比例函数 y=2013x 是闭区间 1,2013 上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；（2） 若一次函数 y=kx+bk0 是闭区间 m,n 上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3） 若二次函数 y=15x2-45x-75 是闭区间 a,b 上的“闭函数”，求实数 a，b 的值【思想探究六】分类讨论思想练习10. 设抛物线 y=ax2+bx+ca0 过 A0,2，B4,3，C 三点，其中点 C 在直线 x=2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛物线的函数解析式为 练习11. 已知：抛物线 y=x2+2m-1x+m2-1 经过坐标原点，且当 x0 时，y 随 x 的增大而减小（1） 求抛物线的解析式，并写出 y0 时，对应 x 的取值范围；（2） 设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于点 B，DCx 轴于点 C当 BC=1 时，直接写出矩形 ABCD 的周长；设动点 A 的坐标为 a,b，将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点 A 的坐标；如果不存在，请说明理由【参考答案】【思想探究一】数形结合思想练习1. x8练习2. （1） 二次函数 L1 的开口向上，对称轴是直线 x=2，顶点坐标为 2,-1 （2） 二次函数 L2 与 L1 有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线 x=2 或顶点的横坐标为 2，都经过 A1,0，B3,0 两点线段 EF 的长度不会发生变化 直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E，F 两点， kx2-4kx+3k=8k，k0， x2+x1=4，x2x1=-5 EF=x1-x2=x1+x22-4x1x2=6 线段 EF 的长度不会发生变化【思想探究二】方程思想练习3.k=2练习4.c=-2,x=-【思想探究三】建模思想练习5. C练习6. （1）=4，b=3 y= (0x4) 经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。【思想探究四】待定系数法练习7.（1） 抛物线的对称轴 x=-5a2a=52 （2） A-3,0，B5,4，C0,4把点 A 坐标代入 y=ax2-5ax+4 中，解得 a=-16 y=-16x2+56x+4 （3） 存在符合条件的点 P 共有 3 个以下分三类情形探索设抛物线对称轴与 x 轴交于 N，与 CB 交于 M过点 B 作 BQx 轴于 Q，易得 BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=52 以 AB 为腰且顶角为 A 的 PAB 有 1 个：P1AB，如图所示 AP12=AB2=AQ2+BQ2=82+42=80. 在 RtANP1 中，P1N=AP12-AN2=80-5.52=1992. P152,-1992 以 AB 为腰且顶角为 B 的 PAB 有 1 个：P2AB，如图所示 BP22=AB2=AQ2+BQ2=82+42=80. 在 RtBMP2 中，MP2=BP22-BM2=80-254=2952. P252,8-2952 以 AB 为底，顶角为 P 的 PAB 有 1 个，即 P3AB，如图所示画 AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于 P3，此时平分线必过等腰 ABC 的顶点 C过点 P3 作 P3K 垂直 y 轴，垂足为 K，连接 P3C，显然 RtP3CKRtBAQ P3KCK=BQAQ=12 P3K=2.5， CK=5，于是 OK=1， P32.5,-1练习8.【思想探究五】方程思想练习9. （1） 是；由反函数 y=2013x 的性质可知，当 1x2013 时，函数值 y 随着自变量 x 的增大而减少，当 x=1 时，y=2013；x=2013 时，y=1，故也有 1y2013，所以函数 y=2013x 是闭区间 1,2013 上的“闭函数” （2） 因为一次函数 y=kx+bk0 是闭区间 m,n 上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：当 k0 时，km+b=m,kn+b=n,mn 解得k=1,b=0, y=x；当 k0 时，km+b=n,kn+b=m,mn 解得k=-1,b=m+n, y=-x+m+n，故一次函数的解析式为 y=x 或 y=-x+m+n （3） 由于函数 y=15x2-45x-75 的图象开口向上，且对称轴为 x=2，顶点为 2,-115，由题意根据二次函数的性质，分以下三种情况讨论：（i）当 2ab 时，必有 x=a 时，y=a 且 x=b 时，y=b，即方程 15x2-45x-75=x 必有两个不等实数根，解得x=91092,而 91092 分布在 2 的两边，这与 2ab 矛盾，舍去；（ii）当 ab2 时，必有 x=a 时，y=b 且 x=b 时，y=a，即15a2-45a-75=b,15b2-45b-75=a, - 得 a+b=-1，代入 得a=-2,b=1 或 a=1,b=-2舍去,故此时有 a=-2,b=1 满足题意；（iii）当 a24+115，又由（i）知 b=9+1092，故可得 a=-115，b=9+1092 符合题意综上所述，a=-2，b=1 或 a=-115，b=9+1092 为所求的实数【思想探究六】分类讨论思想练习10. y=18x2-14x+2 或 y=-18x2+34x+2 练习11. （1） 抛物线经过坐标原点 0,0， m2-1=0， m=1， y=x2+x 或 y=x2-3x x0 时，y 随 x 的增大而减小， y=x2-3x由图象知，y0 时，0x3 （2） 抛物线的对称轴为 x=32，当 BC=1 时，由抛物线的对称性可知 xA=1，yA=-2，所以矩形的周长为 6 点 A 的坐标为 a,b， 当点 A 在对称轴左侧时，矩形 ABCD 的一边 BC=3-2a，另一边 AB=3a-a2，周长 L=-2a2+2a+6，其中 0a32当点 A 在对称轴右侧时，矩形的一边 BC=3-6-2a=2a-3，另一边 AB=3a-a2，周长 L=-2a2+10a-6，其中 32a3 当 0a32 时，L=-2a-122+132， 当 a=12 时，L最大=132，A 点坐标为 12,-54当 32a3 时，L=-2a-522+132， 当 a=52 时，L最大=132，A 点坐标为 52,-5411. （1） 当 x=0 时，y=2 B0,2 OA:O