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第一模块：功和功率夯实基础知识（一）功：1、概念：一个物体受到力的作用，并且在这个力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。2、做功的两个必要因素： 力和物体在力的方向上的位移3、公式：WFScos （为F与s的夹角）功是力的空间积累效应。4、单位：焦耳（J）5、意义：功是能转化的量度，反映力对空间的积累效果。6、说明(1)公式只适用于恒力做功 位移是指力的作用点通过位移(2)要分清“谁做功，对谁做功”。即：哪个力对哪个物体做功。(3)力和位移都是矢量：可以分解力也可以分解位移。如：位移：沿力方向分解，与力垂直方向分解。(4)功是标量，没有方向，但功有正、负值。其正负表示力在做功过程中所起的作用。正功表示动力做功(此力对物体的运动有推动作用)，负功表示阻力做功(5)功大小只与F、s、这三个量有关与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关（二）功的四个基本问题。涉及到功的概念的基本问题，往往会从如下四个方面提出。1、做功与否的判断问题：关键看功的两个必要因素，第一是力；第二是力的方向上的位移。而所谓的“力的方向上的位移”可作如下理解：当位移平行于力，则位移就是力的方向上的位的位移；当位移垂直于力，则位移就不是力的方向上的位移；当位移与力既不垂直又不平行于力，则可对位移进行正交分解，其平行于力的方向上的分位移仍被称为力的方向上的位移。2、会判断正功、负功或不做功。判断方法有：（1）用力和位移的夹角判断;当时F做正功， 当时F不做功， 当时F做负功。（2）用力和速度的夹角判断定;（3）用动能变化判断。3、做功多少的计算问题： （1）按照定义求功:功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积,即：W=Fscos。具体求功时可以有两种处理办法W=F scos，W=Fcos s，在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。至于变力做功的计算，通常可以利用功能关系通过能量变化的计算来了解变力的功。（2）W=Pt（3）用动能定理W=Ek或功能关系求功（4）能量的转化情况求，（功是能量转达化的量度）（5）F-s图象，图象与位移轴所围均“面积”为功的数值（6）多个力的总功求解用平行四边形定则求出合外力，再根据wFscos计算功注意应是合外力与位移s间的夹角分别求各个外力的功：W1F1 scos1， W2=F2scos2再求各个外力功的代数和4、做功意义的理解问题：做功意味着能量的转移与转化，做多少功，相应就有多少能量发生转移或转化。（三）了解常见力做功的特点：（1）一类是与势能相关的力，如重力、弹簧的弹力、电场力等，它们的功与路程无关系，只与位移有关。重力做功和路径无关，只与物体始末位置的高度差h有关：W=mgh，当末位置低于初位置时，W0，即重力做正功；反之则重力做负功。（2）摩擦力做功静摩擦力做功的特点静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能滑动摩擦力做功的特点滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。做功与物体的运动路径有关。滑动摩擦力做功要看物体运动的路程，这是摩擦力做功的特点，必须牢记。一对滑动摩擦力做功的过程中，如图所示，上面不光滑的长木板，放在光滑的水平地面上，一小木块以速度V0从木板的左端滑上木板，当木块和木板相对静止时，木板相对地面滑动了S，小木块相对木板滑动了d，则由动能定理知：滑动摩擦力对木块所做功为：滑动摩擦力对木板所做功为：得：式表明木块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的乘积。这部分减少的能量转化为内能。（3）一对作用力和反作用力做功的特点：作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做负功，不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功数值相等。 一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正（3）斜面上支持力做功问题：斜面固定不动，物体沿斜面下滑时斜面对物体的支持力不做功斜面置于光滑的水平面上，一个物体沿斜面下滑，物体受到的支持力对物体做负功，如图所示，物体下滑到斜面底端，斜面由于不受地面摩擦，后退一段距离，需要注意的是位移S是物体相对于地面的位移，不要认为是斜面，否则会得出物体受到的支持力做功为0的错误结论。SFPQF（四）功率1、功率的定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，它表示物体做功的快慢2、功率的定义式：，所求出的功率是时间t内的平均功率。3、功率的计算式：P=Fvcos，其中是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。重力的功率可表示为PG=mgVy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积4、单位：瓦（w），千瓦（kw）；5、标量6、功率的物理意义：功率是描述做功快慢的物理量。7、通常讲的汽车的功率是指汽车的牵引力的功率（五）汽车的两种起动问题汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是和F-f =ma恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fs计算，不能用W=Pt计算（因为P为变功率）。要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。类型题： 判断力对物体是否做功 【例题1】下面列举的哪几种情况下所做的功是零（ ）多选A卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功B平抛运动中，重力对物体做的功C举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功D木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功解析：引力作为卫星做圆周运动的向心力，向心力与卫星运动速度方向垂直，所以，这个力不做功。杠铃在此时间内位移为零。支持力与位移方向垂直，所以，支持力不做功。A、C、D【例题2】小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力。PQ SFPQF(A)垂直于接触面，做功为零； (B)垂直于接触面，做功不为零； (C)不垂直于接触面，做功不为零； (D)不垂于接触面，做功不为零。解析：错解：斜面对小物块的作用力垂直于接触面，作用力与物体的位移垂直，故做功为零。分析纠错：小物块A在下滑过程中和斜面之间有一对相互作用力F和F，如图所示。如果把斜面B固定在水平桌面上，物体A的位移方向和弹力方向垂直，这时斜面对物块A不做功。但此题告诉的条件是斜劈放在光滑的水平面上，可以自由滑动。此时弹力方向仍然垂直于斜面，但是物块A的位移方向却是从初位置指向终末位置。如图27所示，弹力和位移方向不再垂直而是成一钝角，所以弹力对小物块A做负功，即B选项正确。类型题： 判断力对物体做正功还是负功 【例题3】质量为m的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（ ）A如果物体做加速直线运动，F一定做正功 B如果物体做减速直线运动，F一定做负功C如果物体做减速直线运动，F可能做正功 D如果物体做匀速直线运动，F一定做正功解析：物体在粗糙水平面上运动，它必将受到滑动摩擦力，其方向和物体相对水平面的运动方向相反。当物体做加速运动时，其力F方向必与物体运动方向夹锐角（含方向相同），这样才能使加速度方向与物体运动的方向相同。此时，力F与物体位移的方向夹锐角，所以，力F对物体做正功， A对。当物体做减速运动时，力F的方向可以与物体的运动方向夹锐角也可以夹钝角（含方向相反），只要物体所受合力与物体运动方向相反即可，可见，物体做减速运动时，力F可能对物体做正功，也可能对物体做负功， B错，C对。当物体做匀速运动时，力F的方向必与滑动摩擦力的方向相反，即与物体位移方向相同，所以，力F做正功，D对。LF类型题： 弄清求恒力做功的方法 【例题4】如图所示，均匀长直木板长L=40cm，放在水平桌面上，它的右端与桌边相齐，木板质量m=2kg，与桌面间的摩擦因数=0.2，今用水平推力F将其推下桌子，则水平推力至少做功为（ ）（g取10/s2）A0.8J B1.6J C8J D4J解析：将木板推下桌子即木块的重心要通过桌子边缘，水平推力做的功至少等于克服滑动摩擦力做的功，J。故A是正确的。类型题： 弄清求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1、等值法（转化为恒力做功）等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。【例题5】如图，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由A点前进S至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为和。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。解析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图1可知，在绳与水平面的夹角由变到的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：ROF图-6 2、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。【例题6】如图-6所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为： A、 0J B、20J C 、10J D、20J解析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故W=FS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F2R=102J=20J，故B正确。 3、平均力法 如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。【例题7】一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？解析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f00.0510510N5104N，所以前进100m过程中的平均牵引力: W1105100J1107J。【例题8】用锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm。问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）解析：考查对功概念的理解能力及理论联系实际抽象建立模型的能力。B级要求。错解分析：（1）不能据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代。（2）不能类比迁移，采用类似据匀变速直线速度-时间图象求位移的方式，根据F-x图象求功。解题方法与技巧：解法一：（平均力法）铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，比例系数为K。x1x2第一次击入深度为x1，平均阻力=kx1，做功为W1=x1=kx12。第二次击入深度为x1到x2，平均阻力=k（x2+x1），位移为x2-x1，x1x2xkx1kx2F做功为W2=（x2-x1）= k（x22-x12）。两次做功相等：W1=W2。解后有：x2=x1=1.41 cm，x=x2-x1=0.41 cm。解法二：（图象法）因为阻力F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图象（图4-4）。曲线上面积的值等于F对铁钉做的功。由于两次做功相等，故有：S1=S2（面积），即： kx12=k（x2+x1）（x2-x1），所以x=x2-x1=0.41 cm4、用动能定理求变力做功动能定理表达式为，其中是所有外力做功的代数和，Ek是物体动能的增量。如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。5、用W=Pt：利用此式可求出功率保持不变的情况下变力所做的功。6、用功能原理求变力做功除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系统机械能的增量。若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。7、用图象法在图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功。【例题9】放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。0.20.6x/mF/N40解析：由题意作出图象如图3所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即：类型题： 弄清滑轮系统拉力做功的计算方法 当牵引动滑轮两根细绳不平行时，但都是恒力，此时若将此二力合成为一个恒力再计算这个恒力的功，则计算过程较复杂。但若等效为两个恒力功的代数和，将使计算过程变得非常简便。【例题10】如图所示，恒定的拉力大小F=8N，方向与水平线夹=60角，拉着绳头使物体沿水平面移动=2m的过程中，拉力做了多少功？F解析：如图所示，随着物体沿水平面前进=2m，绳头从A点被拉到B点，由此可见：拉F所作用的物体（绳头）的位移S可由几何关系求得为：而力F与位移S间的夹角为所以，这过程中拉F作用于绳头所做的功为解法二 如图6-5绳子张力大小为F，但张力对物体做功包括沿F方向的张力所做的功W1和水平向右的张力所做的功W2，即解法三 如图6-6，绳子对物体拉力的合力大小为，此合力做的功为：【例题11】如图所示，在倾角为30的斜面上，一条轻绳的一端固定在斜面上，绳子跨过连在滑块上的定滑轮，绳子另一端受到一个方向总是竖直向上，大小恒为F=100N的拉力，使物块沿斜面向上滑行1m(滑轮右边的绳子始终与斜面平行)的过程中，拉力F做的功是( )30F 30F2F1100J 150J 200J 条件不足，无法确定解析：拉力F做的功等效为图8中F1、F2两个恒力所做功的代数和。即W=F1S+F2Scos60，而F1=F2=F=100N，所以W=FS(1+cos60)=150J。即B选项正确类型题： 求某力的平均功率和瞬时功率 【例题12】质量为m=0.5kg的物体从高处以水平的初速度V0=5m/s抛出，在运动t=2s内重力对物体做的功是多少？这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？2s末，重力对物体做功的瞬时功率是多少？（g取）解析：t=2s内，物体在竖直方向下落的高度m，所以有，平均功率W。在t=2s末速度物体在竖直方向的分速度，所以t=2s末瞬时功率W。【例题13】跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是50kg，他一分钟跳绳180次。假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2 / 5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是_W（g取10m/s2）。解析：跳一次的时间是t0 = 60 / 180 s = 1 / 3 s人跳离地面作竖直上抛，到最高点时间为：t = 此过程克服重力做功W = W，平均功率：= 75W【例题14】起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图-14所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图中的哪一个？vt1t20t3图-14 tPPABt1t20t3t1t20t3t PPCDtt1t20t3t1t20t3t解析：在0t1时间内，重物加速上升，设加速度为a1，则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F1=mg+ma1，速度Vt=a1t，所以拉力的功率为：P1=m(a1+g)a1t;在t1t2时间内，重物匀速上升，拉力F2=mg，速度为V1=a1t1，所以拉力的功率为：P2=mga1t1。在t2t3时间内，重物减速上升，设加速度大小为a2，则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F2=mg-ma2，速度V2=a1t1，所以拉力的功率为：P1=m(g-a2)a1t1。综上所述，只有B选项正确类型题： 机车起动问题 【例题15】车以恒定功率P由静止出发，沿平直路面行驶，最大速度为v，则下列判断正确的是（ ）A汽车先做匀加速运动，最后做匀速运动B汽车先做加速度越来越大的加速运动，最后做匀速运动C汽车先做加速度越来越小的加速运动，最后做匀速运动D汽车先做加速运动，再做减速运动，最后做匀速运动【例题16】汽车发动机额定功率为60 kW，汽车质量为5.0103 kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：汽车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少？解析：汽车以恒定功率起动时，它的牵引力F将随速度V的变化而变化，其加速度a也随之变化， 由此可得汽车速度达到最大时，a=0，=12 m/s小结：机车的速度达到最大时，一定是机车的加速度为零。弄清了这一点，利用平衡条件就很容易求出机车的最大速度。【例题17】 质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？ 解析：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即Pm=fvm，而速度为v时的牵引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s2【例题18】汽车发动机额定功率为60 kW，汽车质量为5.0103 kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：若汽车从静止开始，以0.5 m/s2的加速度匀加速运动，则这一加速度能维持多长时间？解析：要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随V增大而增大，当P达到额定功率P额后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了。所以，汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：匀加速和变加速，匀加速过程能维持到汽车功率增加到P额的时刻，设匀加速能达到最大速度为V1，则此时小结：机车匀加速度运动能维持多长时间，一定是机车功率达到额定功率的时间。弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速度运动能维持的时间。【例题19】额定功率为80kW的汽车，在平直的公路上行驶的最大速度是20m/s，汽车的质量是2t，如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度的大小是2m/s2，运动过程中阻力不变。求：（1）汽车受到的阻力多大？（2）3s末汽车的瞬时功率多大？（3）汽车维持匀加速运动的时间是多少？解析：（1）当汽车达最大速度时，加速度为零，牵引力的大小等于阻力的大小，即N = N（2）设汽车做匀加速运动时，需要的牵引力为