数学人教版九年级上册压轴题（二次函数与几何图形综合问题）复习课.doc

安顺中考数学压轴题复习课（二次函数与最大面积和等腰三角形存在性问题） 彭文1（2012秋文昌校级期末）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求抛物线对应的二次函数关系式；（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使DCA面积最大的点D的坐标；（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）该抛物线过点C（0，2），可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx2将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，故该二次函数的解析式为：y=x2+x2（2）如图，设D点的横坐标为t（0t4），则D点的纵坐标为t2+t2由题意可求得直线AC的解析式为y=x2E点的坐标为（t，t2）DE=t2+t2（t2）=t2+2tSDAC=（t2+2t）4=t2+4t=（t2）2+4当t=2时，DAC面积最大D（2，1）（3）假设存在这样的点PA（4，0），C（0，2），AC=2设P（x，0）当AC=PC时，=2，解得，x=4（不合题意，舍去）或x=4，即P1（4，0）；当AP=AC时，|x4|=2，解得，x=4+2或x=42，即P2（42，0）、P3（4+2，0）；当AP=PC时，|x4|=，解得，x=，即P4（，0）综上所述，符合条件的点P的坐标分别是：P1（4，0）、P2（42，0）、P3（4+2，0）、P4（，0）2（2013廊坊一模）如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（2，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标为（6，0）；（3）在x轴是否存在一点P，使ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）y=ax2+x+c的图象经过A（2，0），C（0，3），c=3，a=，所求解析式为：y=x2+x+3，答：这个二次函数的解析式是y=x2+x+3（2）解：（6，0），故答案为：（6，0）（3）解：在RtAOC中，AO=2，OC=3，AC=，当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（2，0）；当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（2，0）；当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），在RtP4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32解得：x=，P4（，0）；答：在x轴存在一点P，使ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（2，0）或（2，0）或（2，0）或（，0）（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=x2+x+3上，即：Q点坐标为（x，x2+x+3），连接OQ，S四边形ABQC=SAOC+SOQC+SOBQ，=3+x+3（x2+x+3）=x2+x+12，a0，S四边形ABQC最大值=，Q点坐标为（3，），答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，），面积的最大值是3（2013攀枝花模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+2过点A（3，0），B（1，0），解得，二次函数的关系解析式为y=x2x+2；（2）存在如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n=m2m+2连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N则PM=m2m+2，PN=m，AO=3当x=0时，y=00+2=2，OC=2，SPAC=SPAO+SPCOSACO=AOPM+COPNAOCO=3（m2m+2）+2（m）32=m23ma=10函数SPAC=m23m有最大值当m=时，SPAC有最大值n=m2m+2=（）2（）+2=，存在点P（，），使PAC的面积最大（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点过Q1点作Q1Dy轴于点D，过点Q2作Q2Ex轴于点E，1+2=90，2+3=90，3+4=90，1=3，2=4，在Q1CD与CBO中，Q1CDCBO，Q1D=OC=2，CD=OB=1，OD=OC+CD=3，Q1（2，3）；同理可得Q4（2，1）；同理可证CBOBQ2E，BE=OC=2，Q2E=OB=1，OE=OB+BE=1+2=3，Q2（3，1），同理，Q3（1，1），存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（1，1），Q4（2，1）4（2015乳山市一模）如图，直线y=x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（1，0）（1）求B，C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题【解答】解：（1）令x=0，则y=x+2=2；令y=0，则0=x+2，解得x=4，所以B（4，0），C（0，2）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B的坐标代入得，解得该二次函数的关系式为y=x2+x+2；（3）如图2，过C点作CMEF于M，设E（a，a+2），F（a，a2+a+2）EF=a2+a+2（a+2）=a2+2a，（0a4），S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN=+a（a2+2a）+（4a）（a2+2a）=a2+4a+=（a2）2+，（0a4），a=2时，S四边形CDBF的最大值为；E（2，1）；