数学人教版七年级上册3.1直线的倾斜角与斜率.doc

直线的倾斜角和斜率教学设计一、教学目标：1、知识目标：理解倾斜角、斜率的概念。了解斜率公式的推导过程。2、能力目标： 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，引导学生观察，类比，探索发现，帮助学生进一步理解特殊到一般的思想，数形结合的思想，渗透辩证唯物主义的思想，初步感受几何问题代数化的解析几何研究思想。3、德育目标：通过数形结合的思想，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神。通过学生之间师生之间的交流合作，实现共同探究的目标，学生进一步体会合作精神。【目标分析】在学习倾斜角，斜率，斜率公式的同时，让学生体会到知识产生和发现的方法，感受其中体现的数学思想，在这个过程中培养学生的数学思维，和同学老师的合作探究的行为方式。二、教学重点：用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。教学难点：直线的斜率与它的倾斜角的关系。【重难点突破的方法】通过对坡度概念的理解，引入了斜率。在直线的斜率公式的推导中，借助于坡度的计算方法的理解，很自然就解决了这个问题。斜率和倾斜角的关系，借助于直角组体会倾斜角变化引起的斜率的变化。三、教学方法：在多媒体的课件的支持下，让学生在教师引导下，积极探索，体会概念的发现和形成过程，体验解析几何的研究方法。四、教学过程1、介绍解析几何的背景。解析几何的思想：借助于坐标系，用代数的方法研究几何问题。【设计意图】给出三篇阅读材料，让学生对解析几何的思想有个初步的了解。2、坐标系中的直线的倾斜角。问题1：平面内确定直线的条件是什么？用一个点呢？ 答：两点问题2：已知一个点如何确定直线？【设计意图】由两点到一点确定直线，引出倾斜角。（出示幻灯片）（总结：确定直线有两种方式：两点或者直线上一点和直线的方向）同学们讨论几种答案后，最终确定用直线与x轴正方向所形成的角来确定直线的位置。定义：倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上的方向之间所形成的角叫直线l的倾斜角。我们来体会一下直线在坐标系中的位置。yyyy xoxoxxoo学生容易对与x轴平行或重合的直线的倾斜角提出质疑，随后给出下面的规定。补充：当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为00。学生讨论总结出直线倾斜角的范围。问题3：直线倾斜角的范围？00，,1800）【设计意图】通过对横撇竖捺的学习，总结倾斜角的范围。引导学生形象的得出横撇竖捺的规律。结合自己姓名最后的两个字是“淑娜”加深学生的印象。3、坐标系中直线的斜率。问题4：我们学习过的知识中有没有与倾斜程度有关的量？展示图片，立交桥。学生说出名词“坡度”倾斜角是在直角坐标系下刻画直线倾斜程度的一个量，但这是用几何方法刻画的，能否转化为代数方法呢？ 【设计意图】倾斜程度的代数和几何方法的表示，让学生体会到解析几何的本质用代数方法研究几何问题。坡度：日常生活中，常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的坡度（倾斜程度），即：坡度=升高量/前进量即为坡角的正切值。坡度和坡角都能反映倾斜程度。对于倾斜角来说，“坡度”就是“倾斜角的正切”在数学中，坡角相当于直线的倾斜角，坡度对应于直线的斜率。定义：斜率：把一条直线的倾斜角的正切值角这条直线的斜率。用k表示，k=tan。 问题5：现在我们已经知道k与分别是从代数和几何两个角度刻画了直线的倾斜程度。他们之间的关系是怎样的呢？【设计意图】更深刻的认识斜率与倾斜角的变化关系。 K的符号K的变化00900正变大900 1800负变大 是锐角时，tan(1800- )= - tan 结合上面的图形和互补的两个角正切值互为相反数的知识，填好上面的表格。让同学们发现=900时斜率不存在。即：当900时倾斜角的正切值为直线的斜率。yl1问题6：每条直线都有倾斜角吗？每条直线都有斜率吗？l2练习1：已知下列命题：若是直线l的倾斜角，则001800。若k是直线的斜率，则kR。任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。l3任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角。o其中正确的命题有 （ D ）xA 0个 B 1个 C 2个 D 3个2、直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则（ D ）A k1k2k3 B k3k1k2 C k3k2k1 D k1k3x2, y1y2,tan=tan(1800-)=- tan,在RtP1P2Q中，tan=tanQ P1P2=，于是可得tan=，即k= ,同样，当P1P2的方向向上时，也有tan=，即k= P1(x2,y2)P2(x1，y1)OXQ(x2，y1)YP1(x1，y1)P2(x2,y2)P1(x1，y1)Q(x2，y1)XYO综上：经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)（x1x2）的直线的斜率公式k= 例1：求经过下列两点连线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。(1) A(3,2) B(-4,1) (2) B(-4,1) C(0,-1)解：直线AB的斜率kAB= ,直线BC的斜率kBC由kAB0知，直线AB为锐角,由kBC0知，直线BC为钝角变式：若求BA两点的斜率呢？ 若把(1)中B改为D(2，2)呢？若把(1)中B改为D(3，4)呢？问题8： 这个结论与P1P2两点的顺序有关系吗？特殊地，当直线与x轴，y轴平行或重合时，结论是否成立？【设计意图】学生自己探索，指导学生注意在公式推导中分类讨论的思维的严谨性。例2：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1及-3的直线l1,l2。此例题目的是加强数形结合，因为直线经过原点，所以只要再找出另外的一点就可确定。在推导斜率公式时知道，斜率k的值与直线上P1P2的位置无关，所以由已知直线的斜率画直线是，可以再找出一个特殊点，使其横坐标等于1，比较方便。解：设A1(x1,y1)是直线l1上的一点，根据斜率公式有，即x1=y1。设x1=1，则y1=1，于是A1的坐标是（1,1），过原点及A1（1,1）的直线即为l1。同理，由，得x1=-y1，设x2=1，则y2=-1，于是得直线l2上的一点A2的坐标是（1,-1），过原点及A2（1,-1）的直线即为l2。对于斜率是-3的情形，让学生黑板板演。五、小结：1、学完本节课你有哪些收获？知识上？思想上？确定直线的方法有两种：两点和一点与倾斜程度。倾斜角和斜率刻画倾斜程度，两点可以求出直线的斜率。涉及的数学思想：数形结合，分类讨论，类比。2、在解析几何中我们还可以学习哪些知识？六、分层次作业：A组：课后练习：3，4B组：课后练习：3，4，课本89页1,3正规作业：课本89页：2,4练习3的目的：学生从特殊位置的角度理解斜率和倾斜角的关系。体会当斜率不存在时=900。练习4的目的：对例2的巩固。由一点和表示倾斜程度的量斜率可以确定直线。89页1的练习目的：逆推斜率已知求倾斜角。3的练习目的：一点一斜率能确定直线，则直线上有三个点时可用任意两点连线的斜率都相等这个知识点来解决。还可以再推广到用斜率相等来证明三点共线。2题练习目的熟悉斜率公式同时清楚用解析几何的含义：用代数的方法可以体现平行四边形的性质。可以先让学生感受平行四边形的两边平行，斜率相等的性质。进一步为后面的研究做出铺垫。4题练习目的本节课的斜率公式，倾斜角和斜率三者之间的关系的综合表达。板书设计：解析几何 例2：1、 倾斜角：直线与x轴相交， 解：设A1(x1,y1)是直线l1上的一 直线向上的方向, x轴的正方向 点，根据斜率公式有2、 斜率：k=tan (900) 即x1=y1。 3、 P1(x1,y1)P2(x2,y2), k= ,（x1x2） 设x1=1，则y1=1，于是A1的坐标 是（1,1），过原点及A1（1,1）的直线即为l1 学生板书。附：拓展材料一：笛卡尔创立解析几何笛卡尔是法国著名的数学家、物理学家和哲学家。1596年3月21日，笛卡尔出生于法国都兰城的一个地方议员家庭里。他自幼爱好科学，并且表现出有追求真理的顽强精神。童年曾在著名的拉佛累舍公学读书，但他很满足学校教的那一套经院哲学。因此，1616年，他告别学校，前往欧洲进行旅行考察，足迹遍布荷兰，德国，奥地利，瑞士和意大利等国。这次考察，开阔了视野，丰富了知识，为他以后从事科学研究奠定了良好的基础。 1625年考察结束。回国后，笛卡尔便在巴黎投身于科学研究事业。由于经常不分白天黑夜的研究数学，他病倒了，不得不卧床休息。人躺在床上，可大脑怎么也进入不了休息状态，那些可爱而又折磨着他的数学问题又来了：“直观，形象是几何图形的特征，而代数方程虽十分抽象，但便于运算，要能将两者结合起来，用几何图形表示方程，或者用代数的方法解决几何学问题，那该多好啊！”他躺在床上辗转反侧，始终也没有想出个解决的办法。不过，他已找到了解决问题的关键，即只要把组成几何图形的“点”与满足方程的每一组“数”挂上钩，其他问题就都迎刃而解了。病魔和数学难题都死缠着他，弄得他吃不进饭，咽不下水，睡不着觉，整天冥思苦想而又理不出头绪。住了一段时间医院，非但未治好病，反而加重了病情，医生也被搞得“丈二的和尚摸不着头脑”。一天，他躺在病榻上，仰望着天花板出神。只见蜘蛛正忙着在墙角落上结网，它一忽儿在雪白的天花板上爬来爬去，一忽儿有顺着蛛丝爬上爬下。这精彩的“杂技”牢牢的把笛卡尔吸引住了。这一有趣的现象，使笛卡尔受到启发，他马上联想到了那个他朝思暮想，至今仍悬而未决的难题。他这样想：“这只悬在半空的蜘蛛不正是一个移动的点吗？能不能用两面墙的交线及墙与天花板的交线来确定它的空间位置呢？”他在纸上画出三条相互垂直的直线，分别表示两墙的交线和墙与天花板的交线，并在空间点的一个P点代表蜘蛛，P到两墙的距离分别用x和y表示，到天花板的距离用z表示。这样，只要x,y,z有了准确的数值，P点的位置就完全可以确定了，尽管笛卡尔由对墙面、天花板和玩杂技般的蜘蛛的观赏，转到了对点、线、面的抽象思索，但他仍饶有兴趣，思绪异常活跃，因为在数学家的眼里，枯燥的点、线，比活蹦乱跳的小鸟还要逗人可爱。笛卡儿的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。1637年，笛卡儿发表了几何学，创立了直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点。他进而又创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域