数学人教版九年级上册实际问题与二次函数教学案例.docx

优化教学过程设计，提高学生学习效果实际问题与二次函数拱桥教学案例甘肃省合水县西华池初中 李红宁 电话、学生学情分析：在前面的学习中，学生已对一次函数、反比例函数、二次函数、以及二次函数的概念和性质比较熟悉，并且具备了初步的观察、实验、探究函数图像的性质的能力，而且具有能利用其性质解决简单的实际问题的能力。但是解决实际问题的方法单一，推理过程不够规范和严谨，并且不能很好将实际问题转化成为数学问题并与数学模型相结合。二、 教学任务分析：1、 教材的地位和作用：本节课是抛物线建模的实际问题，是学生在学习了二次函数的性质和实际问题“最大利润”和“最大面积”之后涉及求函数的最大值的问题。抛物线在实际生活中有着广泛的应用，如修建石拱桥和隧道的拱形，公园里的喷泉中的水柱运动轨迹，以及我们打篮球投篮的运动轨迹等。解决这类问题的关键是构造二次函数模型把实际问题转化成抛物线，恰当地选择平面直角坐标系，并利用抛物线的性质解决实际问题。并且本节内容还是培养学生分类讨论思想，数学建模思想，一题多解思想的良好素材，还可以培养学生的创新思维和探索精神。2、教学目标：（1） 生活实际问题转化数学问题，体验二次函数在生活中的应用。（2） 通过实际问题，体验数学在实际生活中的广泛应用性，发展数学思维。（3） 通过对拱桥图片的欣赏，感受数学在生活中的应用，激发学习热情。（4） 在转化建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索创新精神。三、教学方法分析：1、 学法分析：学生最感兴趣的是探索和研究自己发现的问题。本节课的每一次探索都从建模和观察开始，再到大胆猜想，最后用严谨的推理计算来验证自己的猜想，使学生在探究的过程中体味成功的乐趣。2、 教法分析：本节课教师先是充当了学生的合作者，而接下来的自主探究过程中，教师则是学生的引导者，从台前走到了幕后，使学生的思维空间更加广阔。而教师在本节课中所起的作用，相当一面不断变化的透镜，引导学生的思维以培养学生合理的数学思维习惯。四、教学过程设计：1、创设情境：多媒体播放现实生活中形似抛物线形的情境，如跳绳、掷铅球、水池喷射出的水花、拱桥。请一名同学说一说我们学习过抛物线的表达式。教师用多媒体播放问题情境，由此引出课题并板书课题。学生表述抛物线的各种表达式。（由C层学生回答）【设计意图】多媒体播放现情景，让学生感受生活中处处从在数学，问题的提出，激发了学生学习的兴趣，同时使学生带着问题走进课堂。2、课前热身：某涵洞是抛物线形，它的截面如图1所示，现测得水面宽16m，涵洞顶点O到水面的距离为24m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析：如图1，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y=ax2 此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式 解：如图1，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。 由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入得，y=ax2所以-2.4=a0.82 ,a=-因此，函数关系式是y=-x2 。 图1 图2教师出示问题，引导学生分析问题并解答问题。【设计意图】为本节课能由浅如深的胜利进行打下了坚实的铺垫。 练习： 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图2,现测得，当水面宽AB1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？教师请两名学生到黑板板书。【设计意图】让学生及时巩固学习效果，提高学习效率。3、自主探究：图3中是抛物线形拱桥，当水面在 L 时，拱顶离水面高2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？ 图3 图4解一: 如图4所示， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系。可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为: y=ax2当拱桥离水面2m时,水面宽4m即抛物线过点(2,-2)-2=a22a=-0.5这条抛物线所表示的二次函数为: y=-0.5x2当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:-3=-0.5x2X=这时水面的宽度为：2当水面下降1m时,水面宽度增加了(2) m.解二:如图5所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.此时,抛物线的顶点为(0,2)可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为: y=ax2 +c当拱桥离水面2m时,水面宽4m即:抛物线过点(2,0)0= a22+2a=-0.5y=-0.5 x2+2当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:-1=-0.5 x2+2X=这时水面的宽度为：2当水面下降1m时,水面宽度增加了(2) m. 图5 图6解三：如图6所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.此时,抛物线的顶点为(2,2)可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为: y=a(x -2)2+2抛物线过点(0,0)0= a(0 -2)2+2a=-0.5y= -0.5(x -2)2+2当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:-1=-0.5(x -2)2+2X1=2- X2= 2+X2 X1=2当水面下降1m时,水面宽度增加了(2) m.教师引导：（1）如何设抛物线表示的二次函数？（2）水面下降1m的含义是什么？（3）如何求宽度增加多少？学生小组讨论解决。教师找小组代表到黑板板书过程，师生共同评价。教师引导：学生可能还会有其他建立直角坐标系的方法，引导学生分析坐标系建立后，能否找到抛物线上的一些点的坐标，若能找到，问题可以解决。若找不到，则说明此种建立坐标系的方法不可取。【设计意图】由实际问题（拱桥和水面的变化问题）激发学生的探究兴趣。通过小组讨论用多种方法解决拱桥问题，培养学生的合作意识和能力。通过对实际问题转化为数学问题，让学生体会建模思想。多种解法的设计，是让学生体会数学模型的建立，在同一个问题中可以是不同的，不仅培养学生的建模能力，而且培养了学生一题多解的创新思维能力。4、变式训练：如图7，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过（1）卡车可以通过 . 提示：当x=1时，y =3.75, 3.7524（2）卡车可以通过.提示：当x=2时，y =3, 324.教师投放习题，让学生独立解决，师生共评。【设计意图】通过变式训练，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，并从中获得成功的体验。通过变式训练，及时反馈学生学习情况。5、巩固训练：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物, 如图8所示，大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.【设计意图】通过巩固练习，引导学生自主、合作、探究，培养学生、分析问题、解决问题的意识和能力。6、目标检测：1、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图8所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4.4m。现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m。请判断这辆汽车能否顺利通过大门2、有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图9，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由. 图7 图8 图97、小结升华：（1）解决抛物线形实际问题的一般思路：审题，弄清已知和未知。将实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系。结合数学模型，根据题意找出点的坐标，求出抛物线的解析式。分析图像（注意自变量的取值范围），解决实际问题。数学结合思想的运用。（2）学到了哪些思考问题的方法？教师引导学生谈谈自己所学到的知识与方法和自己的疑惑。【设计意图】 梳理学习的内容、方法，形成知识体系。养成系统整理知识的习惯。8、布置作业：必做题：教材习题26.3第3、7、8题。选做题：教材习题26.3第9题。【设计意图】 复习巩固，查缺补漏。五、教后反思：本节课的教学设计能较充分体现 “以学生的发展为本” 的教育理念，借助学校先学后教的教学模式和多媒体手段提高课堂教学效率，激发学生的学习兴趣，调动学生学习的主观能动性，有效的解决了教材重点和难点两大问题，学生的解题思路清晰，达到了预期的教学目的，同时教师给学生提供充分的活动空间