第3讲等比数列及其前n项和（教师版）.doc

第3讲等比数列及其前n项和考点梳理1等比数列的定义及通项公式(1)等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G(ab0)在等比数列中，从第二项起每一项(有穷数列最后一项除外)都是它前一项与后一项的等比中项，即aan1an1(nN*且n2)(3)等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a1，公比为q，则ana1qn1，若已知第m项am和公比q，则anamqnm.(4)等比数列的公比公式：qn1或qnm.2等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.3等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列(2)中项公式法：在数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列 注前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列考点自测1等比数列an的前n项和为Sn，若a11，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4_.解析设数列an的公比为q，则4a24a1a3，4a1q4a1a1q2，即q24q40，q2.S415.答案152已知三数xlog272，xlog92，xlog32成等比数列，则公比为_解析因为(xlog92)2(xlog272)(xlog32)，所以2(xlog32)，解得xlog3 2，所以公比q3.答案33若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a3bc10，则a_.解析由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2bac，即2cq2cqc，又等比数列中c0，所以2q2q10，解得q1(舍去)或q，又a3bca3aqa10，所以a4.答案44在等比数列an中，若a1，a44，则|a1|a2|a6|_.解析由题意，得4q3，所以q2，从而|a1|a2|a6|124816.答案5在等比数列an中，已知a1a2，a3a41，则a7a8a9a10_.解析a1a2a1a1q，a3a4a1q2a1q31，q22，a7a8a9a10(a1a2a3a4)q62312.答案12考向一等比数列基本量的计算【例1】已知数列an是等比数列，且an0.(1)若a2a18，a3m.当m48时，求数列an的通项公式； 若数列an是唯一的，求m的值；(2)若a2ka2k1ak1(akak1a1)8，kN*，求a2k1a2k2a3k的最小值解(1)由a2a18，a3m48，得解得或所以数列an的通项公式为an(168)(3)n1或an(168)(3)n1.要使满足条件的数列an是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解所以方程8q2mqm0有唯一解则m232m0，解得m32或m0.因为a3m0，所以m32，此时q2.经检验，当m32时，数列an唯一，其通项公式为an2n2.(2)由a2ka2k1ak1(akak1a1)8，得a1(qk1)(qk1qk21)8，且q1.则a2k1a2k2a3ka1q2k(qk1qk21)832，当且仅当qk1，即q，a18(1)时，等号成立所以a2k1a2k2a3k的最小值为32.方法总结 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解【训练1】 等比数列an满足：a1a611，a3a4，且公比q(0,1)(1)求数列an的通项公式； (2)若该数列前n项和Sn21，求n的值解(1)a3a4a1a6，又a1a611，故a1，a6看作方程x211x0的两根，又q(0,1)a1，a6，q5，q， ann1n6.(2)由(1)知Sn21，解得n6.考向二等比数列的判定或证明【例2】 已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列； (2)求数列bn的通项公式审题视点(1)由anSnn及an1Sn1n1转化成an与an1的递推关系，再构造数列an1 (2)由cn求an再求bn.(1)证明anSnn， an1Sn1n1. 得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列又a1a11，a1，首项c1a11，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.方法总结 注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n1时是否符合n2时的通项公式，能合并的必须合并【训练2】已知数列an，anpnqn(p0，q0，pq，R，0，nN*)(1)求证：数列an1pan为等比数列；(2)数列an中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由(1)证明因为anpnpn，所以an1panpn1qn1p(pnqn)qn(qp)因为0，q0，p0，pq，所以q为常数，且a2pa1q(qp)0，所以数列an1pan为等比数列(2)解取数列an的连续三项an，an1，an2(n1，nN*)，则aanan2(pn1qn1)2(pnqn)(pn2qn2)pnqn(pq)2.因为p0，q0，pq，0， 所以pnqn(pq)20，即aanan2.故数列an中不存在连续三项构成等比数列考向三等比数列的性质及应用【例3】 (1)在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比为整数，求a10；(2)已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，求b5b9的值；(3)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44.解(1)a4a7a3a8512，解之得或当时，q532，q2.a11，a10a1q91(2)9512.当时，q5，q. 又q为整数，q舍去综上所述：a10512.(2)a3a11a4a7， a70，a74，b74，bn为等差数列，b5b92b78.(3)法一a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43 aq166aq6q160(aq6)(q16)10 12101 024.法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1a1a2a3a41， T4a13a14a15a168，T4T1p31p38，p2. T11a41a42a43a44T1p102101 024.方法总结 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质 ，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度【训练3】 (1)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，若am1am12am0，且T2m1128，求m的值(2)在等比数列an中，若已知a24，a5，求an；若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解(1)因为an是等比数列，由其性质，得am1am1a，于是由am1am12am，得a2am. 又am0，所以am2.因为T2m1a1a2a2m2a2m1a12827，所以2m17，解得m4.(2)设公比为q，则q3，即q3，q，ana5qn5n4.a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.考向四等比数列的综合应用【例4】记公差d0的等差数列an的前n项和为Sn，已知a12，S3123.(1)求数列an的通项公式an及前n项和Sn；(2)记bnan，若自然数n1，n2，nk，满足1n1n2nk，并且bn1，bn2，bnk，成等比数列，其中n11，n23，求nk(用k表示)；(3)试问：在数列an中是否存在三项ar，as，at(rst，r，s，tN*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由解(1)a12，S33a13d123，d2.ana1(n1)d2n，Snn2(1)n.(2)bnan2n，bnk2nk.又数列bnk的首项bn1b12，公比q3，bnk23k1.2nk23k1，即nk3k1.(3)假设存在三项ar，as，at成等比数列，则aarat，即有(2s)2(2r)(2t)， 整理得(rts2)2srt.若rts20，则，r，s，tN*，是有理数，这与为无理数矛盾；若rts20，则2srt0，从而可得rst，这与rs0，a3a1116，a1，log2a10log2log2255.答案53设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.解析由S23a22，S43a42作差可得a3a43a43a2，即2a4a33a20，所以2q2q30，解得q或q1(舍)答案4已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d，由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式综上，Sn分层训练A级基础达标演练一、填空题(每小题5分，共30分)1设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为_解析设数列an的公比为q(q0)，前n项和为Sn，由a11，a516，得q416，所以q2，从而得S7127.答案1272设数列a前n项和为Sn，a1t，a2t2，Sn2(t1)Sn1tSn0，则an是_数列，通项an_.解析由Sn2(t1)Sn1tSn0，得Sn2Sn1t(Sn1Sn)，所以an2tan1，所以t，又t，所以an成等比数列，且anttn1tn.答案等比tn3数列an为正项等比数列，若a22，且anan16an1(nN，n2)，则此数列的前4项和S4_.解析由a1q2，a1qn1a1qn6a1qn2，得qn1qn6qn2，所以q2q6.又q0，所以q2，a11. 所以S415.答案154已知等比数列an的前n项和Snt5n2，则实数t的值为_解析a1S1t，a2S2S1t，a3S3S24t，由an是等比数列知24t，显然t0，所以t5.答案55已知各项都为正数的等比数列an中，a2a44，a1a2a314，则满足anan1an2的最大正整数n的值为_解析由等比数列的性质，得4a2a4a(a30)，所以a32，所以a1a214a312，于是由解得所以an8n1n4.于是由anan1an2a3(n3)n3，得n31，即n4.答案46设a12，an1，bn1，nN*，则b2 011_.解析由题意得b113，bn11212(bn1)12bn1，bn112(bn1)，故2，故数列bn1是以4为首项，2为公比的等比数列bn12n1，bn2n11.答案22 0121二、解答题(每小题15分，共30分)7设数列an的前n项和为Sn.已知a1a，an1Sn3n，nN*，且a3.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围解(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，Sn3n是等比数列，因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN*(2)由知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n2，当n2时，an1an12n2a30a9，又a2a13a1.综上，所求的a的取值范围是9，)8设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn1 4an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)解由(1)知等比数列bn中b13，公比q2，所以an12an32n1，于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n， 所以an(3n1)2n2.分层训练B级创新能力提升1已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5_.解析设数列an的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3a1a42a1，即a42.由a4与2a7的等差中项为知，a42a72，a7.q3，即q. a4a1q3a12，a116，S531.答案312设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为_解析由题意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.答案3已知数列xn满足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x3x1001，则lg(x101x102x200)_.解析由lg xn11lg xn(nN*)得lg xn1lg xn1，10，数列xn是公比为10的等比数列，xn100xn10100，x101x102x20010100(x1x2x3x100)10100，lg(x101x102x200)lg 10100100.答案1004已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a12，b11，a2b2，2a4b3，且存在常数，使得anlogbn对每一个正整数n时成立，则_.解析由题意，可设an2(n1)d，bnqn1，于是由得解得所以an2n，bn22n2，代入anlogbn，得2n(2n2)log2，即2n(1log2)2log2，所以解得故224.答案45已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2a465，a1a518.