高中数学专题复习课件：数列概念.ppt

数列概念 一 数列的概念 1 定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 2 数列是特殊的函数 从函数的观点看数列 对于定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数来说 数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值 其图象是无限个或有限个孤立的点 注 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题 二 数列的表示 1 列举法 2 图象法 3 通项公式法 若数列的每一项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达 即an f n 则an f n 叫做数列的通项公式 4 递推公式法 如果已知数列的第一项 或前几项 且任一项与它的前一项 或前几项 的关系可以用一个公式来表示 这个公式就叫做数列的递推公式 注 递推公式有两要素 递推关系与初始条件 三 数列的分类 1 按项数 有穷数列和无穷数列 2 按an的增减性 递增 递减 常数 摆动数列 3 按 an 是否有界 有界数列和无界数列 四 数列的前n项和 五 数列的单调性 设d是由连续的正整数构成的集合 若对于d中的每一个n都有an 1 an 或an 1 an 则称数列 an 在d内单调递增 或单调递减 方法 作差 作商 函数求导 六 重要变换 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 典型例题 1 若数列 an 满足a1 1 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 则当n 2时 an 的通项an 2 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数 那么这个数列叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 已知数列 an 是等和数列 且a1 2 公和为5 那么a18的值为 这个数列的前n项和sn的计算公式为 3 2 5 已知数列 an 的前n项和sn满足 log2 1 sn n 1 求数列 an 的通项公式 6 设数列 an 的前n项和sn 2an 1 n 1 2 3 数列 bn 满足 b1 3 bk 1 ak bk k 1 2 3 求数列 an bn 的通项公式 an 2n 1 bn 2n 1 2 7 设数列 an 的前n项和sn 3n2 65n 求数列 an 的前n项和tn 当nan an 单调递增 当n 8时 an 1 an an 单调递减 而a8 a9 即a1a10 a11 a8与a9是数列 an 的最大项 故存在m 8或9 使得an am对n n 恒成立 f n 1 f n 评析 数列的单调性是探索数列的最大项 最小项及解决其它许多数列问题的重要途径 因此要熟练掌握求数列单调性的程序 正整数a的最大值是3 课后练习 1 根据下列数列的前几项的值 写出数列的一个通项公式 2 5 55 555 3 1 7 13 19 4 7 77 777 7777 6 5 0 5 0 5 0 5 0 an 1 n 6n 5 2 已知下面各数列 an 的前n项和sn的公式 求 an 的通项公式 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n2 n 1 3 sn 3n 2 解 1 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 4n 5 故an 4n 5 n n 2 当n 1时 a1 s1 5 当n 2时 an sn sn 1 6n 2 3 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2 3n 1 1 解 a1 1 an 3n 1 an 1 n 2 a2 32 1 a1 3 1 4 a3 33 1 a2 9 4 13 故a2 a3的值分别为4 13 2 证 a1 1 an 3n 1 an 1 an an 1 3n 1 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 3 32 3n 1 4 设函数f x log2x logx2 0 x 1 数列 an 满足f 2an 2n n 1 2 3 1 求数列 an 的通项公式 2 判断数列 an 的单调性 即an2 2nan 1 0 0 x 1 即0 2an 1 an 0 1 而an 0 n n an 1 an 故数列 an 是递增数列 当n0 即an 1 an 当n 9时 an 1 an 0 即an 1 an 数列 an 有最大项 其项数为9或10 其值为 当n 9时 an 1 an 0 即a10 a9 9 n 10 数列 an 有最大项 其项数为9或10 其值为 a11a12a13 a1na21a22a23 a2n an1an2an3 ann 6 已知n2个 n 4 正数排成n行n列方阵 其中每一行的数都成等差数列 每一列的数都成等比数列 并且所有公比都等于q 2 求a1k 1 k n 的值 3 记第k行各项和为ak 求a1及 ak 1 k n 的通项公式 解 1 依题意可设第一行公差为d 各列公比为q q 0 则有 解 1 当n 1时 20 a1 s1 9 6 3 a1 3 当n 2时 2n 1 an sn sn 1 6 2 当n 1时 b1 3 log21 3 8 已知数列 an bn 满足a1 1 a2 a a为常数 且bn anan 1 其中 n 1 2 3 1 若 an 是等比数列 试求数列 bn 的前n项和sn的公式 解 an 是等比数列 a1 1 a2 a a 0 an an 1 又bn anan 1 b1 a1a2 a 且有 bn 是以a为首项 a2为公比的等比数列 当a 1时 sn 1 1 1 n 当a 1时 sn 1 1 1 n 2 当 bn 是等比数列时 甲同学说 an 一定是等比数列 乙同学说 an 一定不是等比数列 你认为他们的说法是否正确 为什么 解 甲 乙两个同学的说法均不正确 理由如下 设 bn 的公比为q 则 又 a1 1 a2 a a1 a3 a5 a2n 1 是以1为首项 q为公比的等比数列 a2 a4 a6 a2n 是以a为首项 q为公比的等比数列 即 an 为 1 a q aq q2 aq2 当q a