数学人教版八年级下册17.1勾股定理（第1课时）教学设计.doc

171 勾股定理教学设计（第1课时）全州县第五中学 蒋元香一、内容及内容解析1内容勾股定理2内容解析勾股定理：直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习三角函数、解直角三角形的基础，它紧密联系了数学中两个最基本的量数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足a2+b2=c2）堪称数形结合的典范由此可知，在直角三角形中已知任意两边长，就可以求出第三边长所以，勾股定理是解决三角形，四边形，圆等图形中求解线段长度问题常用的方法之一，利用勾股定理还可以推导出平面直角坐标系中两点距离公式，勾股定理还是余弦定理、位移向量内积的一个特殊表达形式在平面几何、立体几何及解析几何的学习中占有重要的地位勾股定理为无理数出现提供了基础，正是因为有了无理数的出现，引发了数学史上的第二次数学危机，人类对数的认识从有理数扩充到了实数范围之内，促进了数学的发展勾股定理的证明方法现发现约有400余种，是数学定理中证明方法最多的定理之一本节课主要通过探究直角三角形两直角边为边长的正方形与斜边为边长的正方形的面积关系，从而得出勾股定理勾股定理的探索从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中直角三角形，再到一般的直角三角形来探究得出直角三角形的三边关系，体现了从特殊到一般的研究方法证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路教材从2002年北京国际数学家大会会徽（赵爽弦图）引入本章内容，会徽的图案反映了我国古代对勾股定理的研究成果，既是证明勾股定理的巧妙的构图，同时具有美和谐协调美，在中国数学发展的历史中有重要影响，对学生进行数学文化熏陶和爱国主义教育的优秀材料基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：发现和验证勾股定理二、目标及目标解析1目标（1）能运用勾股定理进行简单的计算和推理；（2）经历勾股定理的探索过程，从而体验定理证明的完整过程；（3）能通过拼图的方法验证勾股定理，了解勾股定理的文化背景，从而体会数形结合思想.2目标解析了解勾股定理的两种表达方式，能根据勾股定理的面积表达形式求未知正方形的面积，能根据勾股定理已知直角三角形任意两条边长会求第三条边长，会用定理作为依据进行线段之间平方关系的推理，实现面积关系与线段长度关系的转化；观察以直角三角形的边为边长的正方形面积之间关系，通过归纳和合理的数学表示发现勾股定理的结论，理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路；了解勾股定理的相关数学史，了解我国古代数学家在勾股定理的发现和证明中所作出的贡献； 学生能通过割补法构造图形验证勾股定理，能理解赵爽弦图证明勾股定理的方法，体会等积法在中国古代证明勾股定理的应用.三、教学问题诊断分析勾股定理研究直角三角形三边之间的关系，在网络环境下比较容易发现以等腰直角三角形三边为边的正方形，进一步得出三边之间的关系；但要从等腰直角三角形过渡到一般网格中直角三角形，通过试验探究提出合理的猜想，学生有较大困难，学生第一次尝试用图形来证明定理存在较大的困难，解决的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积，因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形面积关系，再思考去网格背景下的正方形面积关系，然后把这种关系表示表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和验证勾股定理.本课的教学难点是：勾股定理的发现与验证.四、教学支持条件分析借助多媒体，几何画板动态的演示三角形由等腰直角三角形，网格中直角三角形到一般的直角三角形的变化过程，给学生更加直观的感觉，为学生提供理解及应用割补法求正方形面积提供更具体、形象的素材.五、教学过程设计图11创设问题情境问题情境： 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”如图1就是大会的会徽的图案问题1：你见过这个图案吗？它由哪些我们学习的基本图形组成？问题2：为什么把它作为这次大会的会徽呢？通过今天的学习，就能理解其中的含义.【设计意图】本节课是本章的起始课，教师介绍章节图片，利用介绍国际数学家大会的会徽这一问题情境设置悬念，引入课题2探究勾股定理图2活动1：探究等腰直角三角形三边的关系看似平淡无奇的现象有时却蕴含着深刻的数学道理，相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发现朋友家用地砖铺成的地面（如图2）反映了直角三角形三边的某种数量关系.问题：图2中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？师生活动：学生独立观察图形，分析、思考其中隐藏的规律，通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A、B中的等腰直角三角形补成一个大正方形得到结论：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.这时，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出:等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.【设计意图】探究等腰直角三角形的三边之间的关系，从最特殊的直角三角形入手，重点渗透解决直角三角形三边关系的方法. 活动2：探究网格中直角三角形的三边之间的关系问题1：等腰三角形是一种特殊的直角三角形，在网格中的直角三角形中（如图3），三个正方形A、B、C面积有何关系？（在图3的方格纸中，每个小方格的面积均为1）问题2：正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？师生活动：学生独立思考后小组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，进而由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，如图4，图5所示. 教师在学生回答的基础上归纳方法割补法.可以求得C的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.图3图4图5【设计意图】网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数，通过研究进一步渗透探究一般直角三角形的三边关系的方法.同时为正方形C的面积问题的解决为割补法做铺垫，为解决无网格背景下直角三角形三边关系打下基础.问题3：通过对等腰直角三角形及网格中的直角三角形三边关系的探究，你能对直角三角形三边关系提出一个合理的猜想吗？【猜想】直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2【设计意图】通过对等腰直角三角形及网格背景下的直角三角形三边关系的探究，学生对直角三角形三边的数量关系已有初步的认识，适时让学生提出猜想，进而在一般直角三角形中加以论证，使学生经历 “观察、实验-猜想-论证” 定理的形成过程.问题4：以上这些直角三角形的边长都是具体的数值，如果三边的长是一般的数字，如图6所示，直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，刚刚提出的猜想仍然正确吗？ 图6图8图7师生活动：通过问题2解决过程的铺垫，学生通过独立思考，部分同学可以用a,b表示c的面积，如图7用“割”的方法可得：.如图8用“补”的方法可得：；经过整理都可以得到：，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 【设计意图】从网格验证到脱离网格，对学生来说，意味着思维的完善和飞跃. 利用割补法论证勾股定理，是对问题2的延续，在验证一般性结论时，借助几何画板，巧妙的将网格消失，可以使学生进一步体会特殊到一般的辩证关系.活动4：感受数学文化问题：你还有其他证明勾股定理的方法吗？通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理图9【资料介绍】看图案，这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）我们刚才用割的方法来证明就是使用这个图形【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间概念，发展学生形象思维；通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想.通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学文化，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，进一步体会我国古代数学人的智慧，增强名族自豪感.3应用巩固新知识2480AB（1）求图中字母所代表的正方形的面积. 225144A817A【设计意图】学生应掌握三个正方形的面积关系，以及能将正方形的面积关系与直角三角形三边之间的关系进行联系.图10（2）如图10是一棵美丽的勾股树（以一个直角三角形为基础，以它的三边为边，向直角三角形外部分别作三个正方形，再分别以从两直角边所得的两个正方形的边作为斜边得到两个与原直角三角形大小不同但形状相同的小直角三角形，并以所得的这两个直角三角形为基础，以这两个直角三角形的直角边为边，向直角三角形外部再作四个正方形，所得的整个图形形状象树，所以称这个图形是一棵勾股树），其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，求最大正方形E的面积【设计意图】本题是在课本第64页图18.1-1的基础上的 拓展，进一步体会以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系；通过几何画板演示多层勾股数，感悟数学美.58厘米46厘米74厘米图11（3）求出下列直角三角形中未知边的长度.【设计意图】在直角三角形中，已知其中两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想.（4）如图11，小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？【设计意图】74厘米实际生活的应用，感受数学来源于生活，服务于生活.4.小结、布置作业教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）勾股定理的内容是什么？它什么作用？直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2勾股定理在求解有关边长问题中是常用的方法. （2）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样的探究过程？ 在探究勾股定理的过程中，我们经历了“实验、探究-猜想-归纳、论证”的过程，在今后的学习中还要继续用这种方法探究其他的定理.布置作业： 1、整理课堂中所提到的勾股定理的证明方法；通过上网等查找有关勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法；【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国文化及数学美，感悟数形结合的数学思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的优化；作业的设置体现了信息技术与数学教学相结合的思路，进一步让学生感受中国古数学文化的先进性，树立良好的学习观.五、目标检测设计1.下列说法正确的是（ ）（A）若、是的三边，则；（B）若、是的三边，则；（C）若、是的三边，则；（d）若、是的三边，则.图122.若一个直角三角形的三边为6，8，则=_.3. 如图12，学校要把宣传标语挂到教学楼的