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文档简介
椭圆 及其标准方程 定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合叫做圆 圆是与一定点的距离等于定长的点的集合 新课导入 汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆 把一个圆压扁了 也像椭圆 思考 怎样判定它们就是椭圆呢 1 根据椭圆的定义 2 根据椭圆的方程 定义 椭圆标准方程 取过焦点f1 f2的直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 如图 把坐标代入方程 mf1 mf2 2a得 则椭圆就是集合 p m mf1 mf2 2a 设m x y 为椭圆上任意一点 椭圆焦距为2c c 0 m到f1和到f2的距离之和等于正数2a f1 f2的坐标分别为 c 0 c 0 平面内到两定点的距离等于定长2a f1f2 的点的轨迹称椭圆 两定点称焦点 f1f2 称焦距 移项 两边平方得 两边再平方得 整理得 由椭圆定义可知 2a 2c 即a c 所以 它所表示的椭圆焦点在x轴上 分别为 f1 c 0 f2 c 0 椭圆标准方程 焦点f1 c 0 f2 c 0 在x轴上 若椭圆焦点f1 0 c f2 0 c 在y轴上 因为这时x轴与y轴交换 所以只要把方程中的x y互换即可得方程 焦点f1 0 c f2 0 c 在y轴上 其中 a2 c2 b2 1 根据已知条件 求下列椭圆的焦点坐标 想一想 1 2 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点到两焦点距离的和等于10 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且经过点 例1 已知b c是两个定点 bc 6 且三角形abc的周长为16 求顶点a的轨迹方程 解 1 建立直角坐标系 使x轴经过点b c 使原点o与b c重合b 3 0 c 3 0 2 设a点的坐标为 x y 由 ab ac bc 16 bc 6 即 ab ac 10 b c 用轨迹法 o 化简可得方程 a 当点a在直线bc上 即y 0时 a b c三点不能构成三角形 所以a点的轨迹方程为 y 0 x y 解 例2 将圆 4上的点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的一半 求所的曲线的方程 并说明它是什么曲线 设所的曲线上任一点的坐标为 x y 圆 上的对应点的坐标为 x y 由题意可得 因为 所以 即 1 将圆按照某个方向均匀地压缩 拉长 可以得到椭圆 2 利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法 例3 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆 它的焦距为2 4m 外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m 求这个椭圆的标准方程 解 以两焦点f1 f2所在直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立如图所示的直角坐标系xoy 则这个椭圆的标准方程可设为 根据题意有 即 因此 这个椭圆的标准方程为 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于f1f2 的点的轨迹 根据所学知识完成下表 a2 c2 b2 思考题 已知定圆 q x2 y2
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