一、随机变量1.2.1离散型随机变量的期望.ppt

离散型随机变量的期望 1 掌握离散型随机变量的期望的概念和性质 2 掌握简单的离散型随机变量数学期望的求法 3 掌握二项分布和几何分布的数学期望 学习目标 取每一个xi i 1 2 的概率p xi pi 则称表 为随机变量 的概率分布 简称为 的分布列 1 离散型随机变量的分布列及性质 一般地 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 x2 xi 理解 分布列反映了随机变量的取值与其概率的一一对应关系 从整体上反映了随机变量取值的变化规律 复习提问 取每一个xi i 1 2 的概率p xi pi 则称表 为随机变量 的概率分布 简称为 的分布列 1 离散型随机变量的分布列及性质 一般地 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 x2 xi 离散型随机变量 分布列的性质 1 pi 0 i 1 2 3 2 p1 p2 p3 1 3 列成表格 2 求出各取值的概率p xi pi 1 找出随机变量 的所有可能的值xi 2 求离散型随机变量 的概率分布的步骤 提醒 在写出 的分布列后 要及时检查所有的概率之和是否为1 3 常用分布列 1 b n p p k 2 服从几何分布 p k 根据这个射手射击所得环数 的分布列 在n次射击中 预计有大约p 4 0 02n次得4环p 5 0 04n次得5环 p 10 0 22n次得10环 某射手射击所得环数的分布列如下 能否根据分布列估计射手n次射击的平均环数 分析 平均环数 总环数 n 问题引入 n次射击的总环数约等于4 0 02 n 5 0 04 n 10 0 22 n 4 0 02 5 0 04 10 0 22 n 从而 n次射击的平均环数约等于4 0 02 5 0 04 10 0 22 8 32 类似地 对任一射手 若已知其射击所得环数 的分布列 即已知各个概率p i i 0 1 2 10 则可预计他任意n次射击的平均环数是 我们称e 为此射手射击所得环数 的期望 它刻划了随机变量 所取的平均值 从一个方面反映了射手的射击水平 数学期望的意义 反映了离散型随机变量取值的平均水平 一 数学期望的概念 一般地 若离散型随机变量 的概率分布为 则称为 的数学期望或平均数 均值 数学期望又简称为期望 说明 1 期望是算术平均值的概念的推广 是概率意义下的平均 2 e 是一个实数 由 的分布列唯一确定 即作为随机变量 是可变的 而e 是不变的 即随机变量取值与相应概率值乘积的和 则 若 其中a b常数 则的分布列为 二 数学期望的性质 3 当b 0时 e a ae 2 当a 1时 e b e b 1 当a 0时 e b b 例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 求他罚球1次的得分 的期望 解 运动员所得分数的概率分布为 0 3 0 7 步骤 1 列出相应的分布列 2 利用公式 例2 随机抛掷一个骰子 求所得骰子的点数 的期望 解 抛掷骰子所得点数 的概率分布为 例3 有一批数量很大的产品 其次品率是15 对这批产品进行抽查 每次抽出1件 如果抽出次品 则抽查终止 否则继续抽查 直到抽出次品 但抽查次数最多不超过10次 求抽查次数 的期望 结果保留三个有效数字 解 抽查次数 取1 10的整数 从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的 取出次品的概率是0 15 取出正品的概率是0 85 前k 1次取出正品而第k次 k 1 2 9 取出次品的概率 由此可得 的概率分布如下 根据以上的概率分布 可得 的期望 证明 服从二项分布的随机变量的期望 证明 三 服从二项分布的随机变量的期望 例4 一次英语单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项是正确答案 每题选择正确答案得5分 不作出选择或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是 和 则 由于答对每题得5分 学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5 和5 所以 他们在测验中的成绩的期望分别是 高考题再现 2000年高考题 某厂生产电子元件 其产品的次品率为5 现从一批产品中任意的连续取出2件 写出其中次品数 的概率分布并求其数学期望 解 的取值为0 1 2 的分布列为 因 服从二项分布 故所求的数学期望为 例5 袋中有4只红球 3只黑球 今从袋中随机取出4只球 设取到一只红球得2分 取到一只黑球得1分 试求得分 的概率分布和数学期望 解 直接考虑得分的话 情况较复杂 可以考虑取出的4只球颜色的分布情况 4红得8分 3红1黑得7分 2红2黑得6分 1红3黑得5分 故 p 5 p 6 p 7 p 8 e p 2pq 3pq2 kpqk 1 qe pq 2pq2 3pq3 kpqk 1 q e p pq pq2 pq3 pqk 四 服从几何分布的随机变量的期望 练习 射手用手枪进行射击 击中目标就停止 否则继续射击 他射中目标的概率是0 7 若枪内只有5颗子弹 求射击次数的期望 保留三个有效数字 练习 1 已知随机变量的分布列为 求e 2 抛掷一枚硬币 规定正面向上得1分 反面向上得 1分 求得分的期望 2 3 0 3 已知 的分布列为 且设 2 3 则 的期望值是 a 7 3b 4c 1d 1 a 拓展 假如你是一位商场经理 在五一那天想举行促销活动 根据统计资料显示 若在商场内举行促销活动 可获利2万元 若在商场外举行促销活动 则要看天气情况 不下雨可获利10万元 下雨则要损失4万元 气象台预报五一那天有雨的概率是40 你应选择哪种促销方式 解 设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为万元 则的分布列为 e 10 0 6 4 0 4 4 4万元 变式1 若下雨的概率为0 6呢 变式2 下雨的概率为多少时 在商场内 外搞促销没有区别 2万元 故应选择在商场外搞促销活动 1 本节课学习了