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zpz 3 2 4立体几何中的向量方法 四 空间 角度 问题 1 异面直线所成角 l m l m 若两直线所成的角为 则 复习引入 方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的夹角 如图 2 设二面角的大小为其中ab 2 二面角 注意法向量的方向 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 一进一出 二面角等于法向量夹角 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 如图 向量 则二面角的大小 2 二面角 若二面角的大小为 则 法向量法 3 线面角 3 线面角 l 设直线l的方向向量为 平面的法向量为 且直线与平面所成的角为 则 2 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a 1 0 1 b 0 1 1 那么这条斜线与平面所成的角是 3 已知两平面的法向量分别m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的钝二面角为 基础训练 1 已知 2 2 1 4 5 3 则平面abc的一个法向量是 600 1350 n 解 如图建立坐标系a xyz 则 n 又 例2 如图 在四棱锥s abcd中 底面abcd为平行四边形 侧面sbc底面abcd 已知ab 2 bc sa sb 1 求证 2 求直线sd与平面sab所成角的正弦值 s a b c d 典例剖析 例3如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 侧棱pa 底面abcd pa ab 1 ad 在线段bc上是否存在一点e 使pa与平面pde所成角的大小为450 若存在 确定点e的位置 若不存在说明理由 典例剖析 d b a c e p 解 以a为原点 ad ab ap所在的直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 设be m 则 例4 2004 天津 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd底面abcd pd dc e是pc的中点 1 证明 pa 平面edb 2 求eb与底面abcd所成的角的正切值 典例剖析 a b c d p e 巩固练习 1三棱锥p abcpa abc pa ab ac e为pc中点 则pa与be所成角的余弦值为 2直三棱柱abc a1b1c1中 a1a 2 ab ac 1 则ac1与截面bb1cc1所成角的余弦值为 3正方体中abcd a1b1c1d1中e为a1d1的中点 则二面角e bc a的大小是 如图 已知 直角梯形oabc中 oa bc aoc 90 so 面oabc 且os oc bc 1 oa 2 求 1 异
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