第62课 古典概型.doc

第十二章 算法、统计与概率第62课 古典概型一、考点解读（一）考纲内容与细化考纲内容内容细化随机事件及其概率体会确定性现象与随机现象的含义，了解必然事件、不可能事件及随机事件的意义，理解概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法古典概型理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件，理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法（二）命题规律与趋向概率是高中数学的重要知识，是每年必考题目本节内容一般以两种方式考查：一是随机事件的概念及基本运算，要求了解随机事件的概念及用频率来估计概率的思想；二是考查古典概型及其运算，主要要求学生会用枚举法清点总的事件数与事件A所包括的事件个数.从近年高考试题看，古典概型是考查的热点，多在选择、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计相结合一起考查，属中档题（三）知识梳理与整合 1.事件（1）基本事件：在一次随机试验中可能出现的每一个_.（2）等可能基本事件：在一次试验中，每个基本事件发生的可能性_，则称这些基本事件为等可能基本事件.2.古典概型的特点（1）所有的基本事件只有_.（2）每个基本事件的发生都是_.3.古典概型的计算公式如果一次试验的等可能基本事件共有个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是_；如果某个事件A包含了其中个等可能基本事件，那么事件A发生的概率_，即.二、方法点拨 （一）对点例析 考点1、古典概型的概率公式【例1】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数.（1）求两点数之和为5的概率；（2）求出现两个5点的概率；（3）求以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率思维导图：将一颗骰子先后抛掷2次基本事件的总数为36利用列举法确定基本事件的个数代入古典概型的概率公式计算答案要点：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件.（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件：（1,4）（2,3）（3,2）（4,1）.所以P（A）=；即两数之和为5的概率为 （2）记“出现两个5点”为事件B，则事件B包含的基本事件只有1个即（5,5）所以；即出现两个5点的概率 （3）点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则事件C包含的基本事件共8个：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2）.所以P（C）=即点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率.借题发挥：求基本事件个数时，若用列举法要注意不重不漏，若列表法要注意顺序问题. 骰子模型问题可根据投掷几次(几个)先求出总数即总的基本事件有6n个，再求出满足所求条件的事件个数.若所求的事件的个数不复杂，则可以一个个列出来计数.考点2、摸球模型的概率问题【例2】一个口袋装有大小都相同的个小球，其中个白球，个红球，个黄球，现从中随机摸个球，求恰有一球是白球的概率？思维导图：确定求解从有序（还是无序）的角度考虑确定基本事件总数确定所求事件包含的基本事件数代入古典概型的概率公式答案要点：（法一）若从有序的角度考虑，则共有个基本事件，而事件：恰有一个为白球包含有个基本事件，故（）.（法二）若从无序的角度考虑，则共有个基本事件，而事件：恰有一个为白球包含有个基本事件，故（）.借题发挥：在古典概型公式的计算中，对基本事件数m与的计算必须标准统一.即同时有序或无序，否则就会导致错误产生.考点3、统计知识与概率计算的融合【例3】（陕西省西安市五大名校2011年高三模拟）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组，第五组右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设、表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知，求事件“”的概率.思维导图：（1）由直方图知组距为1纵坐标即为频率确定成绩在内的人数（2）由直方图分别计算成绩在的人数和成绩在的人数列表枚举基本事件代入公式计算答案要点：（1）由直方图知，成绩在内的人数为：（人）所以该班成绩良好的人数为27人. （2）由直方图知，成绩在的人数为人，设为、；成绩在 的人数为人，设为、.来源:Zxxk.Com若时，有3种情况；若时，有6种情况；若分别在和内时，ABCDxxAxB来源:Z_xx_k.ComxCxDyyAyByCyDzzA来源:Zxxk.ComzBzCzD共有12种情况.所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种.P（）=.借题发挥：概率与统计的交汇考查，主要以课本知识为基础，以统计思想为主线，以概率定义为目的，培养同学们分析问题、解决问题、预测事物的能力.此类问题是通过抽样方法、直方图、条形图、茎叶图等统计图表的分析，来确定某一类事件发生的概率.另外，图表型试题解题三步曲是：一观、二识、三解，做到观图要细，识图要全，解图要准.考点4、与代数知识交汇的概率问题【例4】 (山西省介休十中2011年高三模拟)已知集合在平面直角坐标系中，点M的坐标 满足（1）请列出点M的所有坐标；（2）求点M不在轴上的概率；（3）求点M正好落在区域上的概率思维导图：由已知的代数条件确定点M的所有坐标“点M不在轴上的横坐标不为0”确定基本事件数将点坐标代入平面区域，逐一检验，确定基本事件数代入公式求解答案要点：（1）集合A-2,0,1,3,点M(x,y)的坐标，点M的坐标共有：个，分别是：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）.（2）点M不在轴上的坐标共有12种：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3），（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）.所以点M不在轴上的概率是.（3）点M正好落在区域上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）故M正好落在该区域上的概率为.借题发挥：代数中集合、三角、方程、不等式、绝对值、向量、复数、数列、函数等知识，都是与概率问题有机组合命题的素材，近年高考中这种交汇题频频出现.此类问题的主旨是以代数知识为背景，概率为核心.解题的策略：读懂题意，理解内涵，寻求关键，突破入口；尽力脱去背景外衣，细心诊断事件类别，回首重温概率定义.考点5、概率应用问题【例5】齐王与田忌赛马,现各出上、中、下三等马各一匹进行比赛,且在同等马中,齐王的马都比田忌的马跑得快.(1)如果双方均不知道对方马的出场顺序,求田忌获胜的概率;(2)为了得到更大的获胜概率,田忌预先了解到齐王第一场必出上等马.那么,田忌怎样安排的出马顺序,才能使自己获胜的概率最大?思维导图：将实际问题中的元素翻译成数学符号表示列举所有可能情况找出符合所求事件包含的基本事件数代入古典概型的概率公式计算答案要点：记齐王的三匹马分别为A、B、C,记田忌的三匹马分别为a、b、c.若A与a比赛,记为Aa,其它同理.(1)齐王与田忌赛马,有如下六种情况:Aa,Bb,Cc; Aa,Bc,Cb; Ab,Bc,Ca; Ab,Ba,Cc; Ac,Ba,Cb; Ac,Bb,Ca.其中田忌获胜的只有一种:Ac,Ba,Cb.田忌获胜的概率为.(2)已知齐王第一场必出上等马A,若田忌第一场必出上等马a或中等马b,则剩下二场,田忌至少输一场,这时田忌必败.于是田忌第一场得出下等马c.若齐王第二场必出中等马B,可能的对阵为:Ba,Cb或Bb,Ca.田忌获胜的概率为.若齐王第二场必出下等马C,可能的对阵为:Ca,Bb或Cb,Ba.田忌获胜的概率也为.田忌第一场出下等马,才能使自己获胜的概率达最大.借题发挥：谋事在人,成事在天.三分天注定,七分靠打拼.如果田忌没有提前作出调查、研究、决策.这场比赛则败多胜少,经一翻“谋事”,却可将获胜的概率从原来的提高到后来的.这已是一个很大的贡献.（二）对点训练 链接考点1对点训练1、(福建省福州市2011年质量检查)“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏， “石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的（）写出玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果；（）求出在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率链接考点2对点训练2、(2011年高考山东)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率链接考点3对点训练3、(吉林省长春市2011年高三调研)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7.(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(2) 若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；(3) 若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知、的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率. 链接考点4对点训练4、（湖南省长沙市2012届高三调研）从中任取一个数，b从中任取一个数 （I）求函数有零点的概率；（II）求使两个不同向量的夹角为锐角的概率链接考点5对点训练5、为了保证报纸的质量，报社经常由两人进行独立校对同一校样，如果甲发现120处错误，乙发现110处错误，且其中有92处错误是两人共同发现的，能否据此估计校样中有多少处错误，他们两人可能遗漏了多少错误？（三）归纳小结 1在古典概型中列出基本事件的方法主要有：枚举法、列表法、树形图等.用枚举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式求出事件A的概率.这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏.树形图对于元素个数不多而又易于分类时的计数问题很有效，这种符号化、形式化表示既便于操作又容易理解2事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.第62课 古典概型限时训练一、选择题1(山西省太原市2011年高三模拟)将一条长为6的线段分成长度为正整数的三条线段，则这三条线段可以构成三角形的概率是（ ）A. B. C. D.2(哈尔滨三中、东北育才、大连育明、天津耀华四校2011年高三模拟)一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为，第二次向上的点数记为，在直角坐标系中，以为坐标的点落在直线上的概率为（ ）ABCD3(安徽省合肥市2011年高三质量检测),则 的概率是（ ）A. B. C. D. 4袋中有3只白球和a只黑球，从中任取2只，全是白球的概率为，则a的值为()A4 B5C6 D7二、填空题5已知函数f(x)6x4(x1,2,3,4,5,6)的值域为集合A，函数g(x)2x1(x1,2,3,4,5,6)的值域为集合B，任意xAB，则xAB的概率是_6(上海市徐汇区2011年高三诊断)从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 .7(山东省青岛市2012届高三上学期期末文科)已知关于的一元二次函数设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，则函数在区间上是增函数的概率为 .8(浙江省温州市2011年高三适应性测试)将一颗骰子投掷两次分别得到点数，则直线与圆相交的概率为 9(江苏省苏北四市2011年高三调研)一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 .10（贵州师大附中2012届高三年级检测考试试卷）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖.小明购买了该食品5袋，则他获奖的概率为 。三、解答题11（黑龙江省哈三中等四校2011年高三模拟）箱中有张卡片，分别标有来源:学.科.网12（2011年朝阳一模)已知集合=-2，0，2，=-1，1.（）若M=|,，用列举法表示集合；（）在（）中的集合M内，随机取出一个元素，求以为坐标的点位于区域D：内的概率.13（哈尔滨市第六中学2012届高三第一次模拟考试）某班同学利用寒假进行社会实践活动，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求、的值；（2）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，求选取的名领队中恰有1人年龄在岁的概率14(天津市红桥区2011年高三)现有编号分别为1，2，3的三个不同的政治基本题和一道政治附加题：另有编号分别为4，5的两个不同的历史基本题和一道历史附加题.甲同学从这五个基本题中一次随即抽取两道题，每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的. （1）用符号（）表示事件“抽到的两题的编号分别为、，且”共有多少个基本事件？请列举出来： （2）求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于8但不小于4的概率. （3）甲同学在抽完两道基本题之后又抽取一道附加题，做对基本题每题加5分，做对政治附加题加10分，做对历史附加题加15分，求甲同学得分不低于20分的概率.答案与解析知识梳理与整合1.（1）基本结果 （2）都相同2.（1）有限个 （2）等可能的3.（1） 对点训练 1.【解析】（）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）（）由（）知，基本事件共有9个，玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，布），共有6个所以，在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率2【解析】 (1)甲校两名男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E、F表示从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种选出的两名教师性别相同的概率为P.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P.3【解析】(1)第6小组的频率为1(0.080.30)0.14，此次测试总人数为(人).第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.280.300.14)5036(人)(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等.前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，中位数位于第4组内. (3)设成绩优秀的9人分别为则选出的2人所有可能的情况为：.共36种，其中、到少有1人入选的情况有15种，、两人至少有1人入选的概率为4【解析】设点共有9个：. （1）记有零点为事件A有零点，即有3个.概率. （2）记两个不同向量的夹角为锐角为事件B有4个概率.5【解析】设有x处错误，则甲发现错误的概率为，但对于乙发现的110处错误，甲发现92处，故甲发现错误的概率为，从而=解得.设两人可能遗漏了y处错误，则，解得y=5.故估计校样中有143处错误，两人可能遗漏了5处错误.限时训练1【答案】C【解析】将一条长为6的线段分成长度为正整数的三条线段，可以得到3个不同情形：（1,2,3），（1,1,4），（2,2,2），其中可以构成三角形的有 (2,2,2)一种情形，根据古典概型概率公式得2【答案】B【解析】由题意(x，y)的取值情况共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,6)；(2,1)，(2,2)，(2,6)；(6,1)，(6,2)，(6,6)共有36种情况，而满足点P(x，y)在直线2xy8上的取值情况有(1,6)，(2,2)，(3,2)共3种情况，故所求概率为.3.【答案】C【解析】有序实数对的取值情形共有种，满足的情形有：来源:学|科|网Z|X|X|K1）此时；2）此时;3)此时.所以 的概率为4【答案】A【解析】分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5，a3号，从中任取2只，有如下基本事件(1,2)，(1,3)，(1，a3)，(2,3)，(2,4)，(2，a3)，(a2，a3)，共(a2)(a1)1个可能情况，“全部是白球”记为事件A，事件A有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个，所以P(A)，解得a4.5【答案】【解析】根据已知条件可得A2,8,14,20,26,32，B1,2,4,8,16,32AB1,2,4,8,14,16,20,26,32，AB2,8,32所以任取xAB，则xAB的概率是.6.【答案】.【解析】从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，有1,2、1,3、1,4、1,5、2,3、2,4、2,5、3,4、3,5、4,5共10种不同的取法，其中1,2、1,4、2,3、2,5、3,4、4,5共6种取法两个数的和是奇数，故所求概率P.7【答案】【解析】函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当且.若则；若则；若则.记函数在区间上是增函数，则事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，.8.【答案】【解析】若直线与圆相交，则将一颗骰子投掷两次分别得到点数的情形一共有种，其中种有满足，所以9【答案】【解析】应用例举法共有16种等