九年级数学 圆的整章复习课件新人教版.ppt

圆的整章复习 知识体系 圆 基本性质 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 概念 对称性 垂径定理 圆心角 弧 弦之间的关系定理 圆周角与圆心角的关系 切线的性质 切线的判定 切线的作图 弧长 扇形面积和圆锥的侧面积相关计算 正多边形和圆 位置分类 性质 公切线的作图 关系定理 有关计算 圆的定义 运动观点 在一个平面内 线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周 另一个端点a随之旋转所形成的图形叫做圆 固定的端点o叫做圆心 线段oa叫做半径 以点o为圆心的圆 记作 o 读作 圆o 圆的定义辨析 篮球是圆吗 圆必须在一个平面内以3cm为半径画圆 能画多少个 以点o为圆心画圆 能画多少个 由此 你发现半径和圆心分别有什么作用 半径确定圆的大小 圆心确定圆的位置圆是 圆周 还是 圆面 圆是一条封闭曲线圆周上的点与圆心有什么关系 圆的定义 集合观点 圆是到定点的距离等于定长的点的集合 圆上各点到定点 圆心 的距离都等于定长 半径 到定点的距离等于定长的点都在圆上 一个圆把平面内的所有点分成了多少类 你能模仿圆的集合定义思想 说说什么是圆的内部和圆的外部吗 点与圆的位置关系 圆是到定点 圆心 的距离等于定长 半径 的点的集合 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合 由此 你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢 如果圆的半径为r 点到圆心的距离为d 则 点在圆上 d r点在圆内 dr 与圆有关的概念 弦和直径什么是弦 什么是直径 直径是弦吗 弦是直径吗 弧与半圆什么是圆弧 弧 怎样表示 弧分成哪几类 半圆是弧吗 弧是半圆吗 弓形是什么 同心圆 同圆 等圆和等弧怎样的两个圆叫同心圆 怎样的两个圆叫等圆 同圆和等圆有什么性质 什么叫等弧 思考 确定一条直线的条件是什么 类比联想 是否也存在由几个点确定一个圆呢 讨论 经过一个点 能作出多少个圆 经过两个点 如何作圆 能作多少个 经过三个点 如何作圆 能作多少个 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心叫做三角形的外心 三角形叫做圆的内接三角形 问题1 如何作三角形的外接圆 如何找三角形的外心 问题2 三角形的外心一定在三角形内吗 c 90 abc是锐角三角形 abc是钝角三角形 从特殊到一般 想一想 将一个圆沿着任一条直径对折 两侧半圆会有什么关系 性质 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 观察右图 有什么等量关系 垂直于弦的直径 ao bo co do 弧ad 弧bc 弧ac 弧bd ao bo co do 弧ad 弧bc 弧ac 弧bd ao bo co do 弧ad 弧bd 弧ac 弧bc ae be 垂径定理 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 判断下列图形 能否使用垂径定理 注意 定理中的两个条件 直径 垂直于弦 缺一不可 定理辨析 练习 若圆心到弦的距离用d表示 半径用r表示 弦长用a表示 这三者之间有怎样的关系 变式1 ac bd有什么关系 变式2 ac bd依然成立吗 变式3 ea ec oa ob oc od 变式练习 如图 p为 o的弦ba延长线上一点 pa ab 2 po 5 求 o的半径 辅助线 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦的垂线段 这是一条非常重要的辅助线 圆心到弦的距离 半径 弦长构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 画图叙述垂径定理 并说出定理的题设和结论 想一想 如果将题设和结论中的5个条件适当互换 情况会怎样 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧 推论1 如图 cd为 o的直径 ab cd ef cd 你能得到什么结论 推论2 弧ae 弧bf 圆的两条平行弦所夹的弧相等 圆的性质 圆是轴对称图形 每一条直径所在的直线都是对称轴 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 圆还具有旋转不变性 即圆绕圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 圆心角 顶点在圆心的角 如 aob 弦心距 从圆心到弦的距离 如 oc 相关定义 猜想与证明 如图 aob a ob oc ab oc a b 猜想 弧ab与弧a b ab与a b oc与oc 之间的关系 并证明你的猜想 定理相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等 在同圆或等圆中 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对弦的弦心距相等 推论在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 在同圆或等圆中 前提 圆心角相等 条件 定理推论 圆周角 圆心角 如 boa 圆内角 如 bca 圆周角 如 bda 圆外角 如 bfa 角的顶点在圆心 角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢 动起来 圆周角 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角 圆心角 顶点在圆心的角 看清要点 画图 同一条弧所对的圆周角和圆心角之间可能出现哪几种不同的位置关系 大胆猜想 回顾 圆心角等于它所对的弧的度数的一半 猜想 圆周角和圆心角都是与圆有关的角 它们之间有什么关系 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 定理 圆周角定理 分类讨论 完全归纳法 数学思想 1 已知 aob 75 求 acb 2 已知 aob 120 求 acb 3 已知 acd 30 求 aob 4 已知 aob 110 求 acb 如图 比较 acb adb aeb的大小 同弧所对的圆周角相等 如图 如果弧ab 弧cd 那么 e和 f是什么关系 反过来呢 等弧所对的圆周角相等 在同圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 如图 o1和 o2是等圆 如果弧ab 弧cd 那么 e和 f是什么关系 反过来呢 等圆也成立 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 思考 1 同圆或等圆 的条件能否去掉 2 判断正误 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距 两个圆周角中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量也相等 关于等积式的证明 如图 已知ab是 o的弦 半径op ab 弦pd交ab于c 求证 pa2 pc pd 经验 证明等积式 通常利用相似 找角相等 要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识 推论2半圆 或直径 所对的圆周角是90 90 的圆周角所对的弦是直径 推论3如果三角形一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 什么时候圆周角是直角 反过来呢 直角三角形斜边中线有什么性质 反过来呢 已知 点o是 abc的外心 boc 130 求 a的度数 直线和圆的位置关系 2个 1个 无 d r d r d r 交点 切点 割线 切线 有且仅有 注意 即 等价于 熟记 直线和圆的位置关系 2个 1个 无 d r d r d r 相交 相离 相切 熟记 判断一条直线是不是圆的切线使用定义 直线和圆有唯一的公共点圆心到直线的距离d等于半径r时 直线和圆相切 说说看 以上两种判断办法是否方便应用呢 操作 画 o 在 o上任取一点a 连结oa 过a点作直线l oa 直线l是否与 o相切呢 从作图过程看 这条切线l满足哪些条件 l经过半径外端l垂直于这条半径 穷则思变 证明一条直线是圆的切线 常常需要作辅助线 若直线过圆上某一点 则连结圆心和公共点 再证明直线与半径垂直若直线与圆的公共点没有确定 则过圆心向直线作垂线 再证明圆心到直线的距离等于半径 练兵 切线判定的方法 利用切线定义利用圆心到直线的距离等于半径利用切线判断定理辅助线技巧 若直线过圆上某一点 则连结圆心和公共点 再证明直线与半径垂直若直线与圆的公共点没有确定 则过圆心向直线作垂线 再证明圆心到直线的距离等于半径 review 切线判定 直线l 过半径外端 垂直于半径切线性质 切线l a为切点 oa l 理解记忆 类比猜想 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线判定与性质典型例题 已知 ab是 o的直径 bc是 o的切线 切点为b oc平行于弦ad 求证 dc是 o的切线 体会规律 如图 在以o为圆心的两个同心圆中 大圆的弦ab和cd相等 且ab与小圆相切于点e 求证 cd与小圆相切 切线性质定理的推广 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径推1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 浓缩提炼 你能用一个定理把圆的切线的性质及它的两个推论概括出来吗 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个 就可以推出第三个 1 垂直于切线 2 过切点 3 过圆心 问题 如何在一个三角形中剪下一个圆 使得该圆的面积尽可能的大 思考 定义 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 三角形的内心是三角形内角平分线的交点 三角形的内心是否也有在三角形内 三角形外或三角形上三种不同情况 记忆 在 abc中 abc 50 acb 75 求 boc的度数 1 点o是三角形的内心 2 点o是三角形的外心 abc中 e是内心 a的平分线和 abc的外接圆相交于点d 求证 de db 练习 关于三角形内心的辅助线 连结内心和三角形的顶点 该线平分三角形的这一内角 三角形的各种 心 heartsoftriangle 三条高线的交点 三条角平分线的交点 三边垂直平分线的交点 三条中线的交点 在形内 形外或直角顶点 在形内 形外或斜边中点 在形内 在形内 到三角形各顶点距离相等 到三角形三边距离相等 把中线分成了2 1两部分 已知 abc的内切圆半径为r 求证 abc的面积s abc sr s为 abc的半周长 o 三角形的外接圆 三角形的内切圆 i 特殊三角形外接圆 内切圆半径的求法 直角三角形外接圆 内切圆半径的求法 等边三角形外接圆 内切圆半径的求法 基本思路 构造三角形bod bo为外接圆半径 do为内切圆半径 o d 圆的内接四边形 定理 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 d b 180 a c 180 eab bcd fcb bad 对角 外角 内对角 又一种重要的辅助线 如图 o1和 o2都经过a b两点 经过a点的直线cd与 o1交于点c 与 o2交于点d 经过b点的直线ef与 o1交于点e 与 o2交于点f 求证 ce df 有两个圆的题目常用的一种辅助线 作公共弦 此图形是一个考试热门图形 思考 若此题条件和结论不变 只是不给出图形 此题还能这样证明吗 切线长的定义以及定理 切线与切线长的区别 切线是直线 不能度量 切线长是线段的长 这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点 可以度量 pa pb分别切 o于a b 切线长定理 题设 从圆外一点引圆的两条切线结论 切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何表述 如图 pa pb是 o的两条切线 a b是切点 直线op交 o于点d 交ab于点c 写出图中所有的垂直关系写出图中所有的全等三角形写出图中所有的相似三角形写出图中所有的等腰三角形若pa 4cm pd 2cm 求半径oa的长若 o的半径为3cm 点p和圆心o的距离为6cm 求切线长及这两条切线的夹角度数 po平分 aobpo垂直平分abpo平分弧ab pa pbpo平分 apb 推广 切线长定理 圆的外切四边形的重要性质 四边形abcd的边ab bc cd da和 o分别相交相切于点l m n p 观察图并结合切线长定理 你发现了什么结论 并证明之 圆的外切四边形的两组对边的和相等ab cd ad bc 弦切角的定义 弦切角 顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 要点 顶点在圆上一边和圆相交一边和圆相切 判断下列各图形中的 a是不是弦切角 并说明理由 还记得什么是分类讨论吗 还记得什么是化归吗 还记得什么是完全归纳法吗 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 定理 如图 de切 o于a ab ac是 o的弦 若弧ab 弧ac 那么 dab和 eac是否相等 为什么 推论 若两弦切角所夹的弧相等 则这两个弦切角也相等 等腰梯形各边都与 o相切 o的直径为6cm 等腰梯形的腰等于8cm 则梯形的面积为 圆的外切四边形的两组对边的和相等ab cd ad bc 与圆有关的比例线段 相交弦定理圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 pa pb pc pd 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 pt2 pa pb 如图 cd是弦 ab是直径 cd ab 垂足为p 求证 pc2 pa pb 演变与一题多解 你能用两种不同的原理证明吗 相交弦定理推论如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 pc2 pa pb 如图 pab和pcd是 o的两条割线 求证 pa pb pc pd 演变与一题多解 你能用多种不同的原理证明吗 切割线定理推论 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 pa pb pc pd 1 经过 o内或外一点p作两条直线交 o于a b c d四点 得到了如图所示的六种不同情况 在六种情况下 pa pb pc pd四条线段在数量上满足的关系式可用同一个式子表示 请先写出这个式子 然后只就图 给予证明 2 已知 o的半径为一定值r 若点p是不在 o上的一个定点 请你过p任作一直线交 o于不重合的两点e f pe pf的值是否为定值 为什么 由此你发现了什么结论 请你把这一结论用文字叙述出来 结论 过不在圆上的一个定点p的任何一条直线与圆相交 则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值 等于点p到圆心的距离与半径的平方差的绝对值 运动观点看本质 切线长定理相交弦定理相交弦定理推论切割线定理割线定理 本质一样圆幂定理 圆和圆的位置关系 外离 内含 两个圆没有公共点 并且每个圆上的点都在另一个圆的外部 两个圆没有公共点 并且每个圆上的点都在另一个圆的内部 d r r d r r 外切 内切 两个圆有唯一公共点 并且除这公共点外 每个圆上的点都在另一个圆的外部 两个圆有唯一公共点 并且除这公共点外 每个圆上的点都在另一个圆的内部 d r r d r r 相交 两个圆有两个公共点 r r d r r 相切两圆 相交两圆的性质 对称性单一个圆是轴对称图象 那么由两个圆组成的图形是否有轴对称性质呢 有若 说出对称轴 若没有 说明理由由上述性质 你可以推导出相切两圆 相交两圆分别有什么性质吗 说明理由 如果两圆相切 那么切点在连心线上 相切两圆的性质 生活中的公切线 公切线的相关概念 公切线 和两圆都相切的直线 思考 两个圆是否一定有公切线 若有 那么会有多少条公切线 公切线数量 两圆位置关系 公切线的性质 切线 类比联想 公切线什么是切线长 什么是公切线的长 切线长有什么定理 你猜想公切线的长相应有什么性质 写出结论并证明 重点 关于公切线长的计算 公切线的长的计算思想 构造直角三角形 利用勾股定理计算式 联想 通常构造直角三角形的知识点 垂径定理 切线长定理 公切线思考 两圆内切时 内 外 公切线的长怎样 两圆外切时 内公切线的长怎样 此时 外公切线长是两圆直径的比例中项 怎样证明 辅助线 构造rt 要做一个如图那样的v形架 将两个钢管托起 已知钢管的外径分别为200mm和80mm 求v形角 的度数 从边长分别为a b a b 的矩形纸片上剪下一个最大的圆 然后再从剩下的余料中又剪下一个尽可能大的圆 求第二次剪下的圆的直径 计算题 两圆外切 通常辅助线的添法是连结两圆圆心 平移外公切线 构成直角三角形 利用勾股定理计算 辅助线 作公切线 如图 o1和 o2内切于p 大圆的弦ab交小圆于c d 求证 apc bpd 如图 o1和 o2外切于a bc是 o1和 o2的公切线 b c为切点 求证 ab ac 重要结论 切点三角形 如图 o1和 o2外切于点a bc为两圆外公切线 b c为切点 ad为 o1直径 求证 ac bd 重要结论 切点三角形 如图 o1和 o2外切于a 两圆的外公切线bc切 o1于点b 切 o2于c 连结ab ac ca的延长线交 o1于d 求证 1 ab ac 2 bd2 da dc 相交两圆的连心线垂直平分公共弦 相交两圆的性质 o1 o2的半径分别为4cm 3cm 两圆交于a b两点 ab 4 8cm 求o1o2的长 正多边形 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 正n边形 如果一个正多边形有n条边 那么这个正多边形叫做正n边形 三条边相等 三个角也相等 60度 四条边都相等 四个角也相等 90度 类比联想 怎样找圆的内接正三角形 怎样找圆的外切正三角形 怎样找圆的内接正方形 怎样找圆的外切正方形 怎样找圆的内接正n边形 怎样找圆的外切正n边形 把圆分成n n 3 等份 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形 定理 类比联想 正三角形有没有外接圆和内切圆 怎样作出这两个圆 这两个圆有什么位置关系 正方形有没有外接圆和内切圆 怎样作出这两个圆 这两个圆有什么位置关系 那么 正n边形呢 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 并且这两个圆是同心圆 正多边形的外接圆 或内切圆 的圆心叫做正多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 内切圆的半径叫做正多边形的边心距 正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 正n边形的每个中心角都等于360 n 正多边形的性质 正多边形是轴对称图形 正n边形有n条对称轴 若n为偶数 则其为中心对称图形 正多边形的性质 各边相等 各角相等圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等分圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等分每个正多边形都有一个内切圆和外接圆 这两个圆是同心圆 圆心就是正多边形的中心正多边形都是轴对称图形 如果边数是偶数那么它还是中心对称图形正n边形的中心角和它的每个外角都等于360 n 每个内角都等于 n 2 180 n边数相同的正多边形相似 周长比 边长比 半径比 边心距比 对应对角线比都等于相似比 面积比等于相似比平方 求证 各边相等的圆内接多边形是正多边形 求证 各角相等的圆外切多边形是正多边形 思考 各边相等的圆外切多边形是否是正多边形 各角相等的圆内接多边形是否是正多边形 正多边形的有关计算 思考 什么是正多边形的中心 半径 边心距 中心角 正n边形的内角和 外角和分别是多少 它的每一个内角 外角 中心角分别是多少 作一个正五边形 作出它的半径 中心角 边心距 观察它们之间有何关系 若正多边形的边数为n时 它的边长 半径 中心角 边心距之间的关系如何 怎样做有关的计算 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 定理 练习 已知正六边形abcdef的半径为r 求这个正六边形的边长a6 周长p6和面积s6 已知圆的半径为r 求它的内接正三角形 内接正方形的边长 边心距和面积 画正多边形 思想 画半径为r的正n边形 只要把半径为r的圆n等分 用尺规等分圆正四边形正八边形正六边形正三角形正十二边形 圆周长 圆周长c与半径r之间的关系 c 2 r 弧长计算公式 公式中n和180都不要带单位 度 圆心角的单位必须化为 度 题中没有标明精确度 结果用 表示 皮带轮模型 如图 两个皮带轮的中心的距离为2 1m 直径分别为0 65m和0 24m 1 求皮带长 保留三个有效数字 2 如果小轮每分钟750转 求大轮每分钟约多少转 如果两个轮是等圆呢 圆 扇形 弓形的面积 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形 扇形 回忆弧长计算公式的推导过程 你能否相应地推出扇形面积的计算公式呢 扇形面积 观察扇形面积公式 你发现它和弧长公式之间有什么关系 怎样才能牢固地记忆这两个公式呢 已知正三角形的边长为a 求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积 圆环面积 把上题中的正三角形改为正方形 结果会怎样 猜想 正五边形 正六边形时又会怎样 用文字表达你得到的结论 求不规则图形面积时 要认真观察图形 准确分解与组合 化归为常见的基本图形 弓形 由弦及其所对的弧组成的图形 弓形面积 s弓形 s扇形 s aob s弓形 s扇形 s aob s弓形 s半圆 水平放着的圆柱形水管的截面半径是0 6m 其中水面高是0 3m 求截面上有水的弓形的面积 精确到0 01m2 如图 o的半径为r 直径ab cd 以b为圆心 以bc为半径作弧ced 求弧ced与弧cad围成的新月形aced的面积s 如图 o1与 o2外切于c ab为两圆公切线 a b为切点 若 o1 o2半径为3r r 求 1 ab的长 2 阴影部分面积 如图 已知a为 o外一点 连结oa交 o于p ab为 o的切线 b为切点 ap 5cm ab cm 则劣弧bp与ab ap围成的阴影部分面积为多少 若把两个圆心角相等的扇形看作有一条曲边的三角形 则这两个扇形 相似 由类比法可以得出一些有趣的性质 相似扇形的弧长比等于半径比相似扇形非曲边上的高之比及中线之比都等于扇形半径之比相似扇形的外接圆半径之比和内切圆半径之比都等于扇形半径之比相似扇形周长之比等于扇形半径之比相似扇形面积之比等于扇形半径之比的平分 曲边三角形 扇形 曲边三角形扇环 由此猜想扇环还可以怎样计算呢 有能力的话 你能推导吗 看看课本181页11题 扇环面积 圆柱和圆锥 侧面展开图 的 思考题 在一个圆锥形的雪糕壳的表面上a处有一只蚂蚁 它发现雪糕壳表明上的b处有一滴残留的雪糕 那么请你为这只蚂蚁设计一条最短的路线 使它最快爬到b处 把一个圆柱侧面展开 是什么图形 把一个圆锥侧面展开 是什么图形 圆柱与圆锥的有关概念 圆柱圆柱的高圆柱的运动定义圆柱的轴圆柱的母线 圆锥圆锥的高圆锥的运动定义圆锥的轴圆锥的母线 o 圆柱的基本性质 两个底面是两个等圆两个底面平行母线平行与轴轴通过上 下底面的圆心母线长都相等并等于高侧面展开图是矩形矩形的一边长等于圆柱的高 即母线长另一边长是底面圆的周长圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高 圆锥的基本性质 底面一个圆轴通过底面的圆心轴垂直于底面母线长都相等侧面展开图是扇形扇形的半径是圆锥的母线长弧长是圆锥底面圆的周长圆锥的侧面积等于扇形的面积 例一 如图 o与 o1外切于点t ab为其外公切线 pt为内公切线 ab与pt相交于点p 根据图中所给出的已知条件及线段 请写出一个正确结论 并加以证明 本题将按正确答案的难易程度评分 o o1 a b p t 结论1 pa pb pt结论2 at bt 或at2 bt2 ab2 结论3 bat tbo1结论4 ota ptb结论5 apt bo1t结论6 bpt aot结论7 oat pbt结论8 apt bo1t设ot r o1t r 结论9 pt2 rr结论10 ab 2 rr结论11 s梯形aoo1b 1 2 r r rr结论12 以ab为直径的 p必定与直线oo1相切于t点 o o1 a b p t 一 三种常用解题方法举例例1 如图 在矩形abcd中 以边ab为直径的半圆o恰与对边cd相切于t 与对角线ac交于p pe ab于e ab 10 求pe的长 bc是 o切线 bc2 cp ca pc ap ca cp pe bc pe 5 4 解法一 几何法 连结ot 则ot cd 且ot ab 5bc ot 5 ac pe bc o p a b t c d e 在rt apb中 pe ab pbe ape ep 2eb 即x 2 10 2x 解得x 4 pe 4 设 pe x 则ae 2x eb 10 2x 连结pb ab是直径 apb 900 解法二 代数法 在rt abc中 bc 5 ac sin cos 解法三 三角法 连结pb 则bp ac 设 pab 在rt apb中 ap 10cos 在rt ape中 pe apsin pe 10sin cos pe 10 4 例2 如图 abcd是边长为2a的正方形 ab为半圆o的直径 ce切 o于e 与ba的延长线交于f 求ef的长 解得x a ef a 解 连结oe ce切 o于e oe cf efo bfc 设ef x 则fb 2x fa 2x 2a fe切 o于e fe2 fa fb x2 2x 2a 2x 又 oe ab bc ef fb 例3 已知 如图 o1与 o2相交于点a b 且点o1在 o2上 连心线o1o2交 o1于点c d 交 o2于点e 过点c作cf ce 交ea的延长线于点f 若de 2 ae 1 求证 ef是 o1的切线 2 求线段cf的长 3 求tan dae的值 2 de 2 ae 且ea edc分别是 o1的切线和割线 由cf ce 可得cf是 o1的切线 从而fc fa 在rt efc中 设cf x 则fe x 又ce 10 由勾股定理可得 x 2 x2 102 解得x 即cf 解 1 连结o1a o1e是 o2的直径 o1a ef ef是 o1的切线 ea2 ed ec ec 10 连结ac 由ea是 o1的切线知 dae acd 只需求tan acd 易得 cad 900 所以只需求的值即可 观察和分析图形 可得 ade cae 从而tan acd 即tan dae