高中数学1.1.4投影与直观图课堂探究新人教B版必修.docx

1.1.4 投影与直观图课堂探究探究一 平行投影性质的应用1在应用平行投影性质时，要注意投射线、投射面之间的位置关系，尤其不要忽视投射线平行于所给平面图形的情形2常见图形的平行投影图形图形的平行投影点是一个点线段是线段或一个点线段的中点是一个点(包括投影的线段的中点)直线是直线或一个点平行直线是两条平行直线，或重合为一条直线，或是两个点平面图形当平面图形与投射线不平行时，投影与原图形相似(包括全等)【典型例题1】 下列四个命题：矩形的平行投影一定是矩形；梯形的平行投影一定是梯形；两条相交直线的平行投影可能平行；如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影一定是这个三角形的平行投影的三角形的中位线其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3解析：当投射线与投射面垂直，矩形所在平面与投射面平行时，矩形的平行投影是矩形；当投射线与矩形所在平面平行时，投影是一条线段；当投射线与矩形不平行，矩形所在平面与投射面不平行时，其投影一般情况下为平行四边形，错误；当投射线与梯形所在平面平行时，投影是一条线段；当梯形所在平面与投射线不平行时，梯形的平行投影一定是梯形，错误；当投射线与两相交直线所在平面平行时它的投影是一条直线；当投射线与两相交直线确定的平面不平行时，它的投影仍是两条相交直线，错误；“一个三角形的平行投影仍是三角形”，说明投射线与三角形所在的平面不平行，故可以用平行投影的性质“在平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比”来判断，是正确的答案：B探究二 画平面图形的直观图1画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定顶点的位置2建立平面直角坐标系时，结合图形的结构特征，尽量使原平面图形的顶点在坐标轴或与坐标轴平行的线段上3原图中不与x轴或y轴平行的线段，可以先作坐标轴的平行线为辅助线画出其端点然后再连线【典型例题2】 画出水平放置的等腰梯形的直观图思路分析：根据斜二测画法的规则，首先在原来的等腰梯形中建立平面直角坐标系，要使尽可能多的顶点和线段在坐标轴上，这样作起图来较为方便，然后按横线相等，竖线是原来的一半的原则，作出对应的各个顶点，连线即成画法：(1)如图，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD(3)连接BC，DA，并擦去辅助线x轴和y轴及O点、E点，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图探究三 画空间图形的直观图1画棱柱、棱锥直观图的步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点(4)成图：擦去辅助线，连线成图2画棱台的直观图的四个步骤：(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系(2)画下底面(3)画高，画上底面(4)连线成图【典型例题3】 有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥的直观图思路分析：根据斜二测画法，先建立恰当的坐标系画出正三角形的直观图，再确定出正三棱锥的顶点即可解：(1)先画出边长为3 cm的正三角形水平放置的直观图，如图所示；(2)过正三角形的中心O建立z轴，画出正三棱锥的顶点V，使VO3 cm，连接VA，VB，VC，如图所示；(3)擦去辅助线，被遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图点评正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图的画法思路，以便在今后的学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥的草图画草图的步骤为：画底面、找底面的中心、作高连线探究四 直观图的还原直观图的还原其实是画直观图的逆过程，只要明确角与边的转化关系，即可简化解答相关问题(1)角的关系：原图形斜二测直观图形xOy90xOy45(或135)(2)长度关系：与x轴平行的线段画后对应线段；与y轴平行的线段画后对应线段【典型例题4】 (1)水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知AC3，BC2，则AB边上的中线的实际长度为_解析：分析易知ABC为以C为直角的直角三角形，且AC3，BC224，所以AB5，故AB边上的中线长为答案：(2)已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为_解析：如图所示，过C作y轴的平行线CD，与x轴交于点D，则CDa又CD是原ABC的高CD的直观图，所以CDa，故SABCABCDa2答案：a2探究五 易错辨析易错点：混淆了直观图与平行投影的区别而致误【典型例题5】 关于利用斜二测画法画直观图有以下结论：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3错解：A错因