2017_18学年高中数学第二章2.3.2.2抛物线方程及性质的应用课后提升训练含解析.docx

抛物线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.-12,12B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】选C.抛物线y2=8x的准线为x=-2,Q(-2,0),设l:y=k(x+2),联立得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时有解,当k0时,0,解得-1k0或00)上,且AOB的面积等于43,则抛物线的方程是()A.y2=233xB.y2=833xC.y2=4xD.y2=8x【解析】选A.设点A(xA,yA)(yA0),B(xB,yB)(yBb0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得y=3,可得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.6.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:-得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以=2p4=p2=k=1,所以p=2.所以所求抛物线的准线方程为x=-1.7.(2017兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=14x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为()A.8B.6C.4D.10【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:14x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦长l=8.8.(2017商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为()A.34B.32C.1D.2【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过A作AA1l于A1,过B作BB1l于B1,设弦AB的中点为M,过M作MM1l于M1,则|MM1|=|AA1|+|BB1|2.|AB|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|6,|AA1|+|BB1|6,2|MM1|6,|MM1|3,故M到x轴的距离d2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B.3C.5D.92【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.抛物线y=x2上到直线2x-y=4的距离最短的点坐标是.【解析】设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点,则P到直线的距离d=|2x-y-4|5=|x2-2x+4|5=,所以x=1时d取最小值355,此时P(1,1).答案:(1,1)10.(2017全国甲卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M1,a2,点M在抛物线上,所以=8,解得a=4,所以N(0,4),那么|FN|=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017宁波高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程.(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)因为y2=4x,所以F(1,0),又因为直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y=x-1,代入y2=4x,得x2-6x+1=0,由根与系数的关系得易得AB的中点,即圆心的坐标为(3,2),又|AB|=x1+x2+p=8,所以圆的半径r=4,所以所求的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.(2)因为|FA|=2|BF|,所以=2,而=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),所以易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根与系数的关系得因为x1-1=2(1-x2),所以或所以k=2,所以直线l的方程为y=2(x-1).【补偿训练】已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+32所得的弦长|P1P2|=42,求此抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p0),把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2+(3+2p)x+94=0,判别式=(3+2p)2-9=4p2+12p0,解得p0或p0)中,得y2=-2x.综上,所求抛物线方程为y2=-2x.12.(2017淮安高二检测)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(1)求y1y2的值.(2)证明直线MN与直线AB的斜率之比为定值.【解析】(1)依题意,设AB的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,=,设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,=,由(1)知y1y2=-8,所以=2为定值.所以直线MN与直线AB的斜率之比为定值2.【能力挑战题】已知抛物线方程为y2=-2px,其准线方程为x=14,直线l:y=k(x+1)与抛物线交于A,B两个不同的点,O为坐标原点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB的面积等于5时,求k的值.【解析】(1)因为抛物线y2=-2px的准线方程为x=14,所以p2=14,得p=12,即抛物线的方程为y2=-x,联立y=k(x+1),消去x后,整理得:ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得:y1+y2=-1k,y1y2=-1,因为A,B两点在抛物线y2=-x上,所以=-x1,=-x2,=x1x2,所以kO