九年级数学上册第24章相似图形复习与小结课件华师大.ppt

第24章相似图形复习与小结 知识结构 比例线段 在四条线段中 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比 那么这四条线段叫成比例线段 比例线段及其性质 1 什么叫做比例线段 2 比例有什么性质 一 复习 1 相似三角形的定义是什么 答 对应角 相等 对应边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形 2 判定两个三角形相似有哪些方法 答 a 用定义 b 用预备定理 c 用判定定理1 2 3 d 直角三角形相似的判定定理 3 相似三角形有哪些性质 1 对应角相等 对应边成比例2 对应角平分线 对应中线 对应高线 对应周长的比都等于相似比 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 4 什么是做三角形的中位线 它有什么性质 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 用符号语言可以表示为 如图 若de是 abc的中位线 或ad bd ae ce 则de bc 且 5什么是梯形的中位线 它具有什么性质 梯形中位线 梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 什么是位似 位似图形具有什么性质 1 位似 在图24 5 1中的两个多边形不仅相似 而且对应顶点的连线相交于一点 像这样的相似叫做位似 点o叫做位似中心 2 位似图形 如果两个多边形不仅相似 而且对应顶点的连线相交于一点 对应边互相平行 那么这两个图形叫做位似图形 这个点o叫做位似中心 即每组对应顶点都经过的这个点 3 位似比 这时两个相似的相似比通常可以称为位似比 1 位似图形上的每对对应点所在的直线都经过同一个点即经过位似中心 2 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 3 位似图形一定是相似图形 4 位似图形的对应角相等 对应边成比例 5 不经过位似中心的对应线段互相平行且成比例 怎样确定某个地方的位置 可以建立直角坐标系 用坐标表示各地的位置 直角坐标系的位置不同 用坐标表示某地的位置也不同 归纳 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的平面图过程如下 1 建立坐标系 选择一个适当的参照点为原点 确定x轴 y轴的正方向 2 根据具体问题确定适当的比例尺 在坐标轴上标出单位长度 3 在坐标平面内画出这些点 写出各点的坐标和各个地点的名称 利用方位角确定物体的位置 应明确东 西 南 北 通常y轴正半轴方向为正北 x轴正半轴方向为正东 通常以北偏东 西 或南偏东 西 为方向角 测量距离时应该注意比例尺 一 平移 1 图形沿x轴平移后 所得新图形的各对应点的纵坐标不变 向右平移n个单位时 横坐标应相应地加上n个单位 反之则减 2 图形沿y轴平移后 所得新图形的各对应点的横坐标不变 纵坐标上加下减 二 轴对称 1 图形沿x轴翻折后 所得的新图形的各对应点的横坐标不变 纵坐标互为相反数 2 图形沿y轴翻折后 所得的新图形的各对应点的纵坐标不变 横坐标互为相反数 p a b p1 a m b p2 a m b p3 a b m p4 a b m p3 a b p2 a b p1 a b 平移 对称 图形以原点为位似中心同侧缩 放 各点坐标变化特征 各点的横 纵坐标都缩小或放大相似比 图形以原点为位似中心异侧缩放或以其它点为位似中心缩放都无此特征 此时可用作图方法来解决 这种思想称为 数形结合 一 填空选择题 1 1 abc中 d e分别是ab ac上的点 且 aed b 那么 aed abc 从而 2 abc中 ab的中点为e ac的中点为d 连结ed 则 aed与 abc的相似比为 2 如图 de bc ad db 2 3 则 aed和 abc的相似比为 3 已知三角形甲各边的比为3 4 6 和它相似的三角形乙的最大边为10cm 则三角形乙的最短边为 cm 4 等腰三角形abc的腰长为18cm 底边长为6cm 在腰ac上取点d 使 abc bdc 则dc ac 2 5 5 2cm 1 2 5 如图 ade acb 则de bc 6 如图 d是 abc一边bc上一点 连接ad 使 abc dba的条件是 a ac bc ad bdb ac bc ab adc ab2 cd bcd ab2 bd bc7 d e分别为 abc的ab ac上的点 且de bc dcb a 把每两个相似的三角形称为一组 那么图中共有相似三角形 组 1 3 d 4 二 证明题 1 d为 abc中ab边上一点 acd abc 求证 ac2 ad ab 2 abc中 bac是直角 过斜边中点m而垂直于斜边bc的直线交ca的延长线于e 交ab于d 连am 求证 mad mea am2 md me3 如图 ab cd ao ob df fb df交ac于e 求证 ed2 eo ec 4 过 abcd的一个顶点a作一直线分别交对角线bd 边bc 边dc的延长线于e f g 求证 ea2 ef eg 5 abc为锐角三角形 bd ce为高 求证 ade abc 用两种方法证明 6 已知在 abc中 bac 90 ad bc e是ac的中点 ed交ab的延长线于f 求证 ab ac df af 解 aed b a a aed abc 两角对应相等 两三角形相似 1 1 abc中 d e分别是ab ac上的点 且 aed b 那么 aed abc 从而 解 d e分别为ab ac的中点 de bc 且 ade abc即 ade与 abc的相似比为1 2 2 abc中 ab的中点为d ac的中点为e 连结de 则 ade与 abc的相似比为 2 解 de bc ade abc ad db 2 3 db ad 3 2 db ad ad 2 3 3即ab ad 5 2 ad ab 2 5即 ade与 abc的相似比为2 5 如图 de bc ad db 2 3 则 aed和 abc的相似比为 3 已知三角形甲各边的比为3 4 6 和它相似的三角形乙的最大边为10cm 则三角形乙的最短边为 cm 解 设三角形甲为 abc 三角形乙为 def 且 def的最大边为de 最短边为ef def abc de ef 6 3即10 ef 6 3 ef 5cm 4 等腰三角形abc的腰长为18cm 底边长为6cm 在腰ac上取点d 使 abc bdc 则dc 解 abc bdc 即 dc 2cm 5 解 ade acb且 如图 ade acb 则de bc 7 d e分别为 abc的ab ac上的点 de bc dcb a 把每两个相似的三角形称为一组 那么图中共有相似三角形 组 解 de bc ade b edc dcb a de bc ade abc a dcb ade b ade cbd ade abc ade cbd abc cbd dca dce a edc adc dec 1 d为 abc中ab边上一点 acd abc 求证 ac2 ad ab 分析 要证明ac2 ad ab 需要先将乘积式改写为比例式 再证明ac ad ab所在的两个三角形相似 由已知两个三角形有二个角对应相等 所以两三角形相似 本题可证 证明 acd abc a a abc acd ac2 ad ab 2 abc中 bac是直角 过斜边中点m而垂直于斜边bc的直线交ca的延长线于e 交ab于d 连am 求证 mad mea am2 md me 分析 已知中与线段有关的条件仅有am bc 2 bm mc 所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似 am是 mad与 mea的公共边 故是对应边md me的比例中项 证明 bac 90 m为斜边bc中点 am bm bc 2 b mad又 b bdm 90 e ade 90 bdm ade b e mad e又 dma ame mad mea mad mea 即am2 md me 3 如图 ab cd ao ob df fb df交ac于e 求证 ed2 eo ec 分析 欲证ed2 eo ec 即证 只需证de eo ec所在的三角形相似 证明 ab cd c a ao ob df fb a b b fdb c fdb又 deo dec edc eod 即ed2 eo ec 4 过 abcd的一个顶点a作一直线分别交对角线bd 边bc 边dc的延长线于e f g 求证 ea2 ef eg 分析 要证明ea2 ef eg 即证明成立 而ea eg ef三条线段在同一直线上 无法构成两个三角形 此时应采用换线段 换比例的方法 可证明 aed feb aeb ged 证明 ad bfab bc aed feb aeb ged 5 abc为锐角三角形 bd ce为高 求证 ade abc 用两种方法证明 证明一 bd ac ce ab abd a 90 ace a 90 abd ace又 a a abd ace a a ade abc 证明二 beo cdo boe cod boe cod 即又 boc eod boc eod 1 2 1 bcd 90 2 3 90 bcd 3又 a a ade abc 6 已知在 abc中 bac 90 ad bc e是ac的中点 ed交ab的延长线于f 求证 ab ac df af 分析 因 abc abd 所以 要证即证 需证 bdf daf 证明 bac 90 ad bc abc c 90 abc bad 90 bad c adc 90 e是ac的中点 ed ec edc c edc bdf bdf c bad又 f f bdf daf bac 90 ad bc abc abd 1 已知 如图 abc中 p是ab边上的一点 连结cp 满足什么条件时 acp abc 解 a a 当 1 acb 或 2 b 时 acp abc a a 当ac ap ab ac时 acp abc a a 当 4 acb 180 时 acp abc 答 当 1 acb或 2 b或ac ap ab ac或 4 acb 180 时 acp abc 1 条件探索型 三 探索题 2 如图 已知 abc cdb 90 ac a bc b 当bd与a b之间满足怎样的关系式时 两三角形相似 这类题型结论是明确的 而需要完备使结论成立的条件 解题思路是 从给定结论出发 通过逆向思考寻求使结论成立的条件 1 将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子 假设图形中的所有点 线都在同一平面内 则图中有相似 不包括全等 三角形吗 如有 把它们一一写出来 c 解 有相似三角形 它们是 ade bae bae cda ade cda ade bae cda 2 结论探索型 2 在abc中 ab ac 过ab上一点d作直线de交另一边于e 使所得三角形与原三角形相似 画出满足条件的图形 e e e e 这类题型的特征是有条件而无结论 要确定这些条件下可能出现的结论 解题思路是 从所给条件出发 通过分析 比较 猜想 寻求多种解法和结论 再进行证明 3 存在探索型 如图 de是 abc的中位线 在射线af上是否存在点m 使 mec与 ade相似 若存在 请先确定点m 再证明这两个三角形相似 若不存在 请说明理由 证明 连结mc de是 abc的中位线 de bc ae ec 又 me ac am cm 1 2 b 90 4 b 90 af bc am de 1 2 3 2 ade mec 90 ade mec 1 2 3 m 解 存在 过点e作ac的垂线 与af交于一点 即m点 或作 mca